9.4. Сетевая постановка открытой транспортной задачи

Открытая транспортная задача решается аналогично закрытой задаче. Ее необходимо превратить в закрытую путем введения в граф (сеть) дополнительной вершины (фиктивного потребителя или фиктивного поставщика) с величиной спроса, равной небалансу. Фиктивный поставщик или потребитель должен быть соединен ребрами с одинаковыми и высокими значениями c_ij со всеми поставщиками (потребителями).

Ребрам, инцидентным фиктивной вершине, присваиваются высокие значения c_ij. Это необходимо, чтобы априори сделать неэффективным использование фиктивной вершины (Ф = –15) как промежуточного пункта, поскольку в реальной сети его нет (рис. 9.9).

В примере открытой задачи (см. рис. 9.9) суммарная мощность поставщиков превышает суммарный спрос потребителей на 15 единиц продукции (Ф = –15). Фиктивный потребитель в вершине Ф соединен со всеми поставщиками ребрами, показатели c_ij которых равны 100. При расчете функционала не учитывается фиктивная вершина. Необходимо из показателя мощности вершины (b_i), из которой исходит стрелка к фиктивной вершине, сначала вычесть величину символической поставки этой стрелки (15), а затем эту разность умножить на потенциал реально существующей вершины (λ_b = 10). Функционал оптимального плана:

F = 10 ∙ 70 + 10 ∙ (90 – 15) + 15 ∙ (–55) + 12 ∙ (–50) + 13 ∙ 40 + 14 ∙ (–20) + + 14 ∙ 15 + 19 ∙ (–75) = –950

Рис. 9.9. Открытая транспортная задача

9.5. Транспортно-производственная задача

Задачи с учетом производственных затрат могут быть открытыми и закрытыми. При их решении имеются некоторые отличия от транспортных задач в матричной постановке. В сетевой постановке нельзя прибавлять затраты на единицу продукции к транспортным затратам, так как заранее неизвестно, показатели производственных затрат какого поставщика и к каким ребрам необходимо прибавлять.

Для представления ситуации в сетевой постановке используем рис. 9.8 как исходную основу. Пусть поставщик на вершине с имеет производственные затраты 35 единиц, а поставщик на вершине d – 45 единиц. На графе (см. рис.9.8) каждая положительная вершина заменяется нулевой мощностью и к ней добавляется ребро под названием «ус», на конце которого ставится поставка этой нулевой вершины, а на ребре – производственная затрата.

На рис. 9.10 отражены «усы», производственные затраты на ребрах и мощности нулевых вершин на конце «усов». Место вершины с заняла нулевая вершина r, а вершины d – нулевая вершина u. К нулевым вершинам добавлены тупиковые отрезки (усы) с производственными затратами на ребрах, равными 35 и 45. На концах усов величины поставок 120 и 60.

Рис. 9.10. Граф транспортно-производственной задачи

Способ решения транспортно-производственной задачи на сети тот же, что и транспортно-производственной задачи матрицы.

При решении транспортно-производственной задачи открытой модели итоговые оптимальные планы по сети и матрице могут значительно отличаться друг от друга.

При проверке допустимого плана на оптимальность с помощью потенциалов должны отсутствовать контуры, а граф быть в форме дерева.

9.6. Классификация с использованием графов

В научных направлениях по мере накопления информации проводится ее обобщение, группировка и классификация. Содержание классификаций зависит от критериев или признаков, которые используются авторами. Математические методы можно использовать для классификации объектов по наиболее типичным признакам.

В зависимости от методического подхода и используемых признаков классификации делят на естественные и искусственные (вспомогательные).

Естественная классификация раскрывает внутренние закономерности в развитии классифицируемых объектов и служат целям познания окружающего мира. Знание о том, к какому классу принадлежит объект, дает возможность судить о его свойствах. Познавательное значение искусственной классификации ограничено. Она создается для облегчения поиска того или иного индивидуального объекта среди других в классификационной схеме. Сложные классификации часто совмещают свойства естественной и искусственной классификации.

Под классификацией понимается разработка способов и приемов построения классификационных схем. Она строится по следующим формальным правилам:

• на каждом этапе классификации (деления множества на подмножества) должен сохраняться один классификационный признак;

• классификация должна быть исчерпывающей, т. е. объединение подмножеств должно составить делимое множество;

• получаемые в результате деления подмножества должны исключать друг друга;

• классификация должна быть непрерывной, без скачков; на каждом этапе деления множества на подмножества, последние должны быть ближайшими видами делимого множества.

Выбор методических приемов построения классификации зависит от характера того конкретного множества изучаемых объектов, которые подлежат классификации, от их количества и полноты имеющихся знаний о них. Ниже рассмотрим основные типы классификационных схем, структуру которых наиболее удобно отобразить в форме графов.

Иерархическая классификация. Иерархия представляет собой отношение подчиненности между объектами разных порядков. В ней отражаются и отношения соподчиненности объектов.

На рис. 9.11 иерархическая классификация представляет собой выходящее дерево графа, корень которого – множество классифицируемых объектов М. В ней выделено три этапа. На первом этапе выделены группы М₁, М₂… на основании признака П. Это ряд первого уровня классификации. На втором этапе каждая группа первого уровня по признаку П₂ делится на ряды второго уровня М₁₁, М₁₂… На третьем этапе каждая из классификационных групп второго уровня может делиться по признаку П₃ на боле дробные группировки, которые образуют классификационные ряды третьего уровня М₁₁₁, М₁₁₂…. Количество этапов классификации определяет ее глубину. С увеличением широты классификации уменьшается ее глубина. Глубина и широта классификации на каждом этапе может быть различной. Упорядочение групп в классификационном ряду может производиться на основе количественного или качественного признака.

Рис. 9.11. Общая схема иерархической классификации

Дихотомическая классификация. Дихотомия – это последовательное деление целого на две несовпадающие части. Количество этапов деления зависит от специфики классифицируемого объекта. Примером может быть деление клетки только на две части. Классификационная схема изображена на рис. 9.12.

Рис. 9.12. Граф дихотомической классификации

Дихотомия понимается в географии как выделение части из целого, когда объект делится на что-то ведущее и все остальное. Например, выделение городов-миллионеров и все остальные города, города стотысячники и все остальные и т. д.

Таксономическая классификация. Построение графа таксономизации аналогично построению его в иерархической классификации. Различие состоит в выборе классификационных признаков. В таксономической классификации объектов сходство устанавливается по совокупности признаков, поэтому ее называют многопризнаковой. Трудность классификации состоит в выборе комплексного классификационного признака на каждом этапе. В географии в таксономической классификации используются иерархически соподчиненные таксоны (зона, ареал, район и др.). Принцип таксономической классификации заключается в том, что по совокупности некоторых признаков таксоны сходные, по совокупности ряда других отличаются между собой. Совокупность признаков для выделения таксона подбирается на каждом этапе (уровне) классификации.

Рассмотрим таксономическую классификацию с учетом несложной ситуации (табл. 9.2). В Республике Беларусь имеется шесть областей. Они имеют сходство по развитию одних направлений в сельском хозяйстве и отличия по другим. Следует провести таксономизацию областей в сельскохозяйственном направлении. Среди ведущих признаков отобраны: выращивание зерновых (признак под номером 1), картофеля (2), сахарной свеклы (3), льна (4), кукурузы на зерно (5). Исходные данные поместим в табл. 9.2. В ней знаком плюс отмечено наличие данного признака у определенного таксона.

Таблица 9.2

Выращивание сельскохозяйственных культур в разрезе областей

П ризнаки Таксоны	1	2	3	4	5
Витебская (В)	+	+		+
Могилевская (Мо)	+	+		+
Минская (Мн)	+	+		+
Гродненская (Гр)	+	+	+	+
Брестская (Б)	+	+	+		+
Гомельская (Гм)	+	+	+		+

Визуально по табл. 9.2 все множество таксонов (областей) можно разделить на две группы первого порядка: В, Мо, Мн, Гр и Б, Г. В дальнейшей таксономизации группа Б и Г не делится, так как все признаки у них повторяются. В группе первого порядка выделяем две подгруппы второго порядка по наличию сходных признаков: В, Мо, Мн и Гр. Схематически форма графа будет как показано на рис. 9.13.

В классификации множество называется монотетическим, если оно объединяет полностью однородные таксоны, например, Гр. Множество Б, Гм политетическое, так как в него входят таксоны, однородные лишь по ведущим признакам.

Рис. 9.13. Граф таксономической классификации

Многоаспектная (фасетная) классификация. Географические объекты характеризуются множеством признаков, например, хозяйство республики. В таком случае нельзя создать единую систему их классификации, поэтому создают многоаспектную классификацию (рис. 9.14). Она заключается в параллельной классификации одного исходного множества (хозяйство республики) объектов по признакам, которые соответствуют различным целям: промышленность, сельское хозяйство и т. д. В результате выполняем самостоятельные фасетные классификации, количество которых определено практической целью.

Рис. 9.14. Графическое отображение многоаспектной классификации

Общее у них – множество классифицируемых объектов. Сложный по содержанию фасет будет иметь различную глубину классификационных ветвей и различную широту классификационных рядов.

Таким образом, теоретико-графовый подход позволяет изучать экономико-географические объекты с неизвестной метрикой пространства. Использование помеченных графов расширяет возможности количественного анализа явлений и процессов. Аппарат теории графов связан с теорией множеств, теорией отношений, матричной алгеброй, математическим программированием. К сожалению, он недостаточно используется в решении ряда проблем экономической географии: при районировании, исследовании территориально-производственных комплексов и промышленных узлов, при планировании различных линий (электропередач, нефте- и газопроводов, каналов связей и др.) производственной инфраструктуры.