8.6.4. Многоэтапная транспортная задача

В современных условиях перевозка продукции от поставщика к потребителю осуществляется двумя путями: поставщик → потребитель (наиболее экономически выгодный) и поставщик → база → потребитель (требует больше транспортных и иных затрат). Поставка продукции через базу к потребителю требует построения модели многоэтапной транспортной задачи, в которой за критерий оптимальности обычно принимается минимальное значение совокупных транспортных затрат. Способ решения транспортных задач с двумя и более этапами предложен американским ученым А. Орденом. Впоследствии его назвали способом фиктивной диагонали.

План перевозки между поставщиками и складами и план перевозки между складами и потребителями не зависят друг от друга. Решаются две самостоятельные транспортные задачи раздельно и в любом порядке.

Если суммарная мощность складов больше суммарной мощности поставщиков, то необходимо осуществлять единый расчет, чтобы получить экономически более эффективный план многоэтапных перевозок. Рассмотрим построение матрицы в двухэтапной задаче (табл. 8.14) при следующих условиях:

∑ D_p > ∑ A_i , ∑ A_i = ∑ B_j.

При различных возможных вариантах использования емкостей складов другими могут быть варианты перевозок грузов между складами и потребителями. В матрице (см. табл. 8.14) в вектор поставщиков попадают истинные поставщики (A_i) и склады (D_p), так как склады выступают по отношению к истинным (конечным) потребителям (B_j) как поставщики. В вектор потребителей попадают истинные потребители и склады, получающие продукцию от поставщиков. По этой причине матрица состоит из четырех блоков.

Элементами первого (I) блока матрицы (левого верхнего прямоугольника) (см. табл. 8.14) являются затраты на перевозку грузов между поставщиками и складами. Во втором блоке (II – правом верхнем прямоугольнике) все клетки содержат запреты (З), так как поставщики передают свою продукцию сначала на склад и прямых связей с потребителями не имеют. Элементами четвертого (IV) блока (правого нижнего прямоугольника) являются затраты на перевозку грузов от складов к потребителям. В третьем (III) блоке (левом нижнем прямоугольнике) склады не поставляют продукцию складам, поэтому во всех клетках, за исключением диагональных, проставляются запреты (М). Запись поставок в фиктивную диагональ будет символизировать недоиспользованную емкость складов.

Фиктивная диагональ вводится для того, чтобы связать I и IV блоки. Суммарный размер поставок в блоках I и III по каждому столбцу равен емкости соответствующего склада. Суммарный размер поставок в блоках III и IV по каждой строке равен емкости склада.

Таблица 8.14

Форма записи исходных данных в четырехблочную матрицу

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос
	D1 50	D2 50	D3 50	B1 20	B2 25	B3 15	B4 30
A1 55	I 7	5	4	II М	М	М	М
A2 35	2	3	4	М	М	М	М
D1 50	III 0	М	М	IV 7	5	3	5
D2 50	М	0	М	3	4	5	6
D3 50	М	М	0	10	9	8	7

Решение задач по блочным матрицам не отличается от алгоритма транспортных задач. Имеются лишь различия в составлении базисного плана. Его построение надо начинать с распределения поставок в одном из двух блоков I или IV. Затем следует определить, где осталась неиспользованная часть емкости складов и записать «поставки» в соответствующие клетки фиктивной диагонали. С учетом этих «поставок» можно переходить к построению плана распределения поставок в оставшийся блок, IV или I. Требование к числу кружков, равному m + n – 1, расположенных в порядке вычеркиваемой комбинации, предъявляется к матрице в целом.