8.5. Дельта-метод Аганбегяна

Для решения закрытых и открытых транспортных задач А. Г. Аганбегян (1961) разработал дельта-метод для ручной обработки. Исходные данные используем из табл. 8.4. В каждом столбце этой таблицы находим минимальное значение c_ij и обводим его кружком. Если в столбце несколько равных по значению c_ij, выбираем любой из них (обычно первый сверху).

Вычисляем в каждом столбце приросты затрат (∆С_ij) для строки как разницу между между элементом c_ij строки и минимальным значением c_ij в столбце: ∆С_ij = c_ij – c_{ij min}. Для первого столбца значения ∆С_ij следующие (сверху вниз): 1 – 1 = 0; 4 – 1 = 3; 2 – 1 = 1; 4 – 1 = 3. Аналогично вычисляем ∆С_ij для других столбцов. В дальнейшем используем матрицу со значениями ∆С_ij в правом верхнем углу (табл. 8.8). В нее заносим поставки по столбцам, равные величине потребителя, в клетки с нулевыми значениями в кружках.

Таблица 8.8

Рабочая матрица прироста затрат

bj ai	50	85	35	25	20	di
30	 50	 85	1	3	4	–105
40	3	1	 35	2	3	5
70	1 	3	4	3	1	70
75	3	1	0	 25	 20	30

В дальнейшем производится расчет баланса (d_i), по которому определяем избыток или недостаток строк: d₁ = 30 – (50 + 85) = –105. Аналогично производится расчет баланса для последующих строк. Отрицательный баланс сложился лишь в первой строке. Значит план распределения поставок не оптимальный.

Производится перераспределение поставок из строк с минусовым балансом в строки с плюсовым балансом и учетом минимального значения прироста затрат (∆С_ij). У нас минимальные значения ∆С_ij = 1 в трех клетках с положительным, но разным балансом в строках (3.1; 2.2; 4.2). Так как d₃ (70) больше, чем d₄ (30) и d₂ (5), выбирается клетка 3.1 для перемещения поставки (50) из соответствующего ей столбца 1. В строку с нулевым балансом поставка не перемещается.

В клетке 3.1 новой матрицы (табл. 8.9) обводим кружком ∆С_ij. В эту клетку (указано стрелкой) вносим поставку 50 из клетки 1.1, т. е. наименьшую из строки с отрицательным балансом –105. На величину 50 уменьшится отрицательный баланс первой строки и составит (d₁ = 30 – – 85 = – 55), а также положительный баланс третьей строки (d₃ = 70 – 50 = = 20).

После первого перемещения поставки отрицательный баланс в первой строке сохранился. Необходимо продолжить перемещение поставки из минусовой строки в плюсовую по описанному выше алгоритму. Следует из клетки 1.2 переместить поставку в клетку 4.2 величиной не более d₄ (30). В результате перемещения новая матрица примет вид как в табл. 8.10.

Таблица 8.9

Первый вариант перемещения поставки

bj ai	50	85	35	25	20	di
30	0	 85	1	3	4	–55
40	3	1	 35	2	3	5
70	 50	3	4	3	1	20
75	3	1 	0	 25	 20	30

Таблица 8.10

Второе перемещение поставки

bj ai	50	85	35	25	20	di
30	0	 55	1	3	4	–25
40	3	1 	 35	2	3	5
70	 50	3	4	3	1	20
75	3	 30	0	 25	 20	0

Второе перемещение поставки не привело к исчезновению отрицательного баланса первой строки (d₁ = –25). Следует переместить поставку из первой строки в клетке 1.2, равную этой величине d₁, в строку с положительным потенциалом. В табл. 8.10 положительный потенциал имеют вторая и третья строка. Их суммарная величина соответствует величине отрицательного баланса первой строки. Поэтому из поставки клетки 1.2 (55) сначала перемещаем 5 в клетку 2.2, так как прирост затрат здесь наименьший и новая матрица примет вид табл. 8.11.

Затем переместим поставку 20 из клетки 1.2 в третью строку с положительным балансом 20 в клетку 3.5 с наименьшим приростом затрат (∆С_ij = 1). Оптимальный путь перемещения поставки 20 указан стрелками. В дельта-задаче цепь открытая. При перемещении поставки по цепи сохраняется чередование плюсов и минусов с изменением величин поставок на поворотах цепи под прямым углом как и в методе потенциалов. Новая матрица примет вид табл. 8.12, где нет отрицательного баланса, все значения его по строкам нулевые.

Таблица 8.11

Третье перемещение поставки

bj ai	50	85	35	25	20	di
30	0	 50	1	3	4	–20
40	3	 5	 35	2	3	0
70	 50	3 	4	3	1 	20
75	3	 30	0 	 25	 20	0

Таблица 8.12

Четвертое перемещение поставки

bj ai	50	85	35	25	20	di
30	0	 30	1	3	4	0
40	3	 5	 35	2	3	0
70	 50	3	4	3	 20	0
75	3	 50	0	 25	 0	0

При перемещении поставки в другие клетки увеличивается прирост затрат. Функционал будет стремиться к максимуму вместо минимума. Следовательно, получен оптимальный план размещения поставок с использованием дельта-метода.

Проверка решения. В дельта-методе поиск клетки в плюсовой строке, к которой следует строить цепь, не формализован и опирается на мыслительную способность человека. Поэтому могут быть допущены ошибки при выборе наиболее выгодных цепей и в результате этого будет получен допустимый план вместо оптимального.

В оптимальном варианте распределения поставок (табл. 8.12) можно рассчитать потенциалы строк и столбцов, а также характеристики клеток без кружков, чтобы убедиться в отсутствии отрицательных характеристик как в методе потенциалов, но несколько иным способом. Для той плюсовой строки, которая на последнем шаге вычислительных операций превратилась в нулевую, берется потенциал равный нулю. Для минусовой строки, которая на последнем шаге вычислительных операций превратилась также в нулевую, берется потенциал, равный приросту затрат на этом последнем шаге, т.е. алгебраическая сумма цепи: – 0 (клетка 1.2) + 1 (4.2) + (– 0 (4.5)) + 1 (3.5) = + 2. В нашем примере третья строка имеет потенциал равный нулю, а первая с отрицательным балансом – плюс 2. Расчет потенциалов остальных строк и столбцов осуществляется по формулам Конторовича (8.10–8.13). Для проверки правильности решения можно пользоваться матрицей со значениями или ∆С_ij.

Проще проверить оптимальность плана по дельта-методу вычислением функционала и сравнения его с функционалом табл. 8.7 (Z = 460):

= 2 · 50 + 2 · 30 + 3 · 5 + 3 · 50 + 2 · 35 + 1 · 25 + 2 · 20 = 460.

Величина для соответствующих клеток табл. 8.12 взята из табл. 8.7. Оба метода распределения поставок показали один и тот же результат функционала равный 460.

Отличие построения цепей в дельта-методе:

• цепь строится незамкнутая;

• цепь начинается в клетке с кружком (с поставкой), которая находится в минусовой строке; в этой клетке поставка уменьшается и она становится отрицательной вершиной цепи;

• перемещение поставки в конец открытой цепи производится как в методе потенциалов с чередованием положительных и отрицательных вершин;

• в этом методе не требуется количества кружков (клеток с поставками), равного m + n – 1 ;

• в исходном плане число кружков равно числу столбцов и лишь в ходе решения появляются новые клетки с кружками (поставками);

• в незамкнутой цепи вершинами бывают клетки без кружков (без поставок); они положительны, так как в них вносится поставка;

• характеристика незамкнутой цепи рассчитывается как алгебраическая сумма показателей ∆С_ij или в ее вершинах; так как при распределении поставок по цепи функционал увеличивается, характеристика цепи всегда положительная; она показывает, насколько увеличивается в функционал, если передвинуть по цепи поставку, равную 1, из минусовой строки в плюсовую.