8.3. Правила работы с матрицей

Расположение элемента (числа) в матрице строго фиксировано. Строку обозначают буквой i, столбец – j, элемент матрицы – a_ij (где i – номер строки, j – номер столбца). Запись a_12,7 показывает, что данный элемент расположен в 12-й строке и 7-м столбце матрицы. Цифры, указывающие строку и столбец, до 10 не разделяют запятой (a₂₃).

Матрицу обозначают заглавной буквой (A, B, C):

A

В матрице число строк равно m, столбцов – n. В сокращенном виде матрицу записывают A=(a_ij).

Размер матрицы определяют путем произведения m на n. Запись означает, что в матрице из чисел а необходимо просуммировать все числа матрицы по столбцам.

Матрицу можно транспонировать, т. е. перемещать элементы матрицы так, что ее строки становятся столбцами, а столбцы – строками. При большинстве вычислений (кроме умножения матрицы на матрицу) не имеет значения, что считать в ней строками, а что столбцами.

Вектор в матрице представляет собой упорядоченную последовательность элементов или ряд, состоящий из некоторого количества элементов. Поэтому вектором можно считать любую строку или любой столбец матрицы. Если размер матрицы m ∙ n, то она состоит либо из m векторов, в каждом из которых по n элементов, либо из n векторов, в каждом из которых по m элементов.

При решении транспортной задачи используются следующие обозначения:

i – индекс поставщика (i = 1, 2,…, m);

j – индекс потребителя (j = 1, 2,…, n);

a_i – мощность i-го поставщика;

b_j – спрос j-го потребителя;

– затраты на перевозку продукции от i-го поставщика j-му потребителю;

Х_ij – количество продукции, которое необходимо перевезти от i-го поставщика j-му потребителю.

Условия транспортной модели приведены выше в составных частях общей модели линейного программирования. Совокупные затраты на перевозку сводятся к минимуму целевой функции. Исходная информация для решения транспортной задачи представлена в матрице:

Потребители		В1	В2	……	Вn
Поставщики	bj  ai	b1	b2	…..	bn
А1	a1	C11 X11	C21 X12	…..	C1n X1n
А2	a2	C21 X11	C22 X22	…..	C2n X2n
……	…..	…..	…..	…..	…..
Аm	am	Cm1 Xm1	Cm2 Xm2		Cmn Xmn

В транспортной задаче m · n > (m + n – 1) можно составить множество планов перевозок. Такие планы называют допустимыми.

В табл. 8.2 дана запись исходных данных задачи по 3-м поставщикам и 4-м потребителям. Указаны мощности поставщиков (а_i) и спросы потребителей (b_j), в правом верхнем углу клетки – затраты на перевозку единицы груза (C_ij).

Таблица 8.2

Исходные данные транспортной задачи

Поставщики, их мощности (аi)	Потребители и их спрос (bj)
	B1 40	B2 25	B3 15	B4 20
A1 30	5	4	1	2
A2 50	1	2	3	4
A3 20	3	2	5	1

По исходным данным табл. 8.2 могут быть составлены следующие допустимые планы перевозок (табл. 8.3).

В допустимом плане С_ij обводятся кружком в случаях наличия в таких клетках поставок (Х_ij), поэтому клетки таблиц с поставками условимся называть клетками с кружками.

В табл. 8.3 а число кружков 5, т. е. меньше чем m + n – 1; в табл. 8.3 б число кружков 6 (равно m + n – 1); в табл. 8.3 в кружков 7 (больше чем m + n – 1). В методе потенциалов число кружков в допустимом плане должно быть равно m + n – 1 (вариант б) и они должны быть расположены в порядке вычеркиваемой комбинации.

Таблица 8.3