8.2. Распределительная модель линейного программирования

Распределительный метод среди задач линейного программирования получил распространение из-за упрощения расчетов, точности вычислений и снижения затрат времени на ввод исходной информации. Метод предложили А. Толстой и Л. В. Конторович в 1939 – 40 гг. Первоначально он применялся в задачах, связанных с транспортировкой грузов, их распределением между поставщиком и потребителем, поэтому получил название «транспортная задача». Применяется при решении ряда землеустроительных задач: распределение севооборотов и угодий по участкам, размещение культур на землях различных категорий, перераспределение участков между хозяйствами для экономии транспортных затрат и др.

Суть распределительной задачи следующая. Заданы m источников ресурса (производители продукции, базы с готовой продукцией) и n пунктов его потребления. Запасы ресурса в источниках составляют А_i, i=1,…, m, потребности – B_j, j=1,…, n. Стоимость транспортировки единицы ресурса от i-го источника к j-му потребителю С_ij. Количество ресурса, транспортируемого от i-го источника к j-му потребителю Х_ij. Требуется определить такие значения Х_ij, при которых общие транспортные расходы будут минимальны.

При сбалансированности, когда общий спрос на запас ресурса у поставщиков и общий спрос на него у потребителя равны, задачу называют закрытой:

. (8.3)

Если баланс не выдерживается, то транспортная задача является открытой:

, или . (8.4)

При наличии баланса модель транспортной задачи формулируется следующим образом.

Целевая функция:

(8.5)

Условия. Ограничения по запасам:

(8.6)

Ограничения по потребностям:

(8.7)

Условие баланса:

(8.8)

Условие неотрицательности:

X_ij ≥ 0, i = 1,…,m, j = 1,…,n. (8.9)

Особенности распределительных транспортных задач следующие:

• условия задачи описываются уравнениями (в симплекс-методе описываются и неравенствами);

• все переменные выражаются в одних и тех же единицах измерения;

• во всех уравнениях коэффициенты при переменных равны единице;

• каждая переменная встречается только в двух уравнениях системы ограничений: в одном по строке (по запасам) и в одном по столбцу (по потребностям).

Целевая функция Z выражает суммарные расходы на транспортировку грузов. Ограничения по запасам и по потребностям означают, что сумма ресурса, забираемого из i-го источника, должна быть равна запасу ресурса в нем, как и сумма ресурса, доставляемого j-му потребителю, должна быть равна его потребности.

Величина С_ij может выражать транспортные расходы (минимизация) или прибыль от транспортных операций (максимизация) и другие показатели.

Пример землеустроительной задачи, решаемой транспортным методом. При землеустроительном обследовании в хозяйстве выделено 5 участков с различным плодородием, которые пригодны для трансформирования. Площади участков 250, 100, 520, 310 и 130 га. По проекту на них намечается разместить кормовой севооборот площадью 600 га, полевой – 560 га, улучшенные сенокосы – 150 га. Необходимо распределить севообороты и угодья по участкам так, чтобы получить максимальный чистый доход.

Матрицу исходных данных строим как в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Исходные данные для землеустроительной задачи

Угодья и севообороты	bj ai	Чистый доход при размещении на участке, руб/га (Сij)
		1 пастбище, 250 га	2 пашня, 100 га	3 пашня, 520 га	4 пашня, 310 га	5 сенокосы, 130 га
Кормовой	600 га	800	1100	800	600	440
Полевой	560 га	1000	1800	2000	2200	2000
Улучшенные сенокосы	150 га	550	440	380	300	700

На «транспортном» языке эта задача может быть описана следующим образом. «Ресурсы» в источниках (A_i) – площади севооборотов и улучшенных сенокосов; «потребности в ресурсах» (B_j) – площади участков; «прибыль от транспортных операций» (С_ij) – чистый доход с единицы площади; «транспортируемый ресурс» (Х_ij) – часть площади i-го севооборота или угодья, размещаемого на j-ом участке; максимальная целевая функция (F) – чистый доход хозяйства от рационального размещения и трансформации угодий; . Чистый доход проставляется в правом верхнем углу каждой клетки (С_ij, руб/га). Дальнейшее решение задачи проводится с использованием метода потенциалов.

Для решения транспортных задач разработан ряд методов: функционала, потенциала, дельта-метод, лямбда-задача. Используются модифицированные модели: транспортно-производственная, многоэтапная, многопродуктовая.

Вначале рассмотрим основные правила работы с матрицей, составление и перемещение по цепи и расчет необходимых параметров.