6.4. Множественная регрессия

Если при установлении зависимости между признаками используется больше одной независимой переменной, то применяют множественный регрессионный анализ. Проведение такого анализа возможно в следующих условиях: распределение зависимой переменной при различных значениях независимых должно быть близко к нормальному; дисперсия зависимой переменной при разных значениях признаков х должна считаться одинаковой. С увеличением числа признаков и в случаях нелинейной множественной регрессии необходимо использовать ЭВМ. Поэтому рассмотрим простой вариант множественной линейной регрессии без применения ЭВМ, когда один признак зависит от двух факторов. Общее уравнение линейной множественной регрессии имеет вид

y = a + bx + cz (6.9)

Для вычисления параметров а, b, с составляется следующая система уравнений:

(6.10)

Соответствие между теоретическими (у') и эмпирическими (у) значениями признака устанавливают с помощью критериев хи-квадрат или Стьюдента (см. п. 1.6). При необходимости ошибка уравнения линейной множественной регрессии определяется по формуле:

, (6.11)

где а, b, с – значения параметров уравнения множественной регрессии; п – число сопряженных значений вариант; k – число коэффициентов уравнения регрессии (а, b, с плюс свободный член).

Другие параметры для (6.11) вычисляются по формулам:

Σ = Σy² – n ; (6.12)

Σa_ya_x = Σxy – nM_yM_x; (6.13)

Σa_ya_z = Σyz – nM_yM_z. (6.14)

Пример. При изучении зависимости между биомассой трав (у, г/м²) в агроландшафте, с одной стороны, температурой (х, °С) и количеством атмосферных осадков (z, мм) с другой, установлена прямая односторонняя зависимость у от х и z. С практической точки зрения целесообразно составить уравнение множественной регрессии, которое можно было бы использовать для прогноза биомассы по температуре и количеству выпавших осадков. Данные по х, у, z представляют собой средние многолетние показатели за период вегетации (май, июнь):

y	300	350	370	420	450	500
x	14,5	15,0	15,6	17,2	18,5	19,3
z	82	95	105	120	130	140

Таблица 6.5

Расчет данных для уравнения линейной множественной регрессии

y	x	z	y2	x2	z2	xy	xz	yz
300	14,5	82	90000	210,25	6724	4350	1189	24600
350	15,0	95	122500	225,00	9025	5250	1425	33250
370	15,6	105	136900	243,36	11025	5772	1638	38850
420	17,2	120	176400	295,84	14400	7224	2064	50400
450	18,5	130	202500	342,25	16900	8325	2405	58500
500	19,3	140	250000	372,49	19600	9650	2702	70000
Σ 2390	100,1	672	978300	1689,19	77674	40571	11423	275600
My = 398,33	Mx = 16,68	Mz = 112

Вычисленные в табл. 6.5 показатели подставляем в систему уравнений (6.10):

Решаем систему уравнений относительно а, b, с. Получаем а = –3,26; b = 5,01; c = 2,84. Подставляем значения а, b, с в общую формулу уравнения множественной регрессии (6.9):

y = –3,26 + 5,01x + 2,84z (6.15)

Затем находим теоретические значения у'. Для этого подставляем в формулу (6.15) экспериментальные данные по x и z и заносим в табл. 6.6 для расчета критерия хи-квадрат. Поскольку χ²_ф = 0,602 < χ²_т = 11,1 при Р = 0,95 для ν = 5, то можно сделать вывод, что расчет биомассы по данным температуры (х) и осадкам (z)достаточно точный.

Для определения ошибки уравнения линейной множественной регрессии показатели рассчитываем по формулам (6.12–6.14):

Σ = 978300 – 6 ∙ 398,33² = 29299,4;

Σa_ya_x = 40571 – 6 ∙ 398,33 ∙ 16,68 = 706,14;

Σa_ya_z = 275600 – 6 ∙ 398,33 ∙ 112 = 7922,3.

Затем подставляем полученные значения в формулу (6.11):

г/м².

Таким образом, прогнозируя урожай биомассы трав за период вегетации по температуре и осадкам, мы рискуем ошибиться в среднем на 9,35 г/м², т. е. на 2,3 %.

Таблица 6.6