Расчет данных для уравнения линейной зависимости

x	y	xy	x2	x2y
14,7	80,0	1176,0	216,09	17287,2
14,9	78,0	1162,2	222,01	17316,78
15,3	76,0	1162,8	234,09	17790,84
15,6	75,0	1170,0	243,36	18252,00
16,0	74,0	1184,0	256,00	18994,00
16,7	73,7	1230,79	278,89	20554,19
Σ 93,2	456,7	7085,79	1450,44	110195

6.3. Параболическая зависимость

Общее уравнение параболы n-го порядка имеет вид

y = axⁿ + bx^n–1 + cx^n–2 + … + kx + l.

Если ограничиться второй ступенью независимой переменной величины х, будем иметь частный случай параболы второго порядка:

y = ax² + bx + c (6.7)

Пример. Для решения конкретной задачи используем данные примера из п. 5.2, где было рассчитано прямое корреляционное отношение (η = 0,78) и доказана его достоверность. На графике зависимость между температурой воздуха (х) и упругостью водяного пара (у) имеет вид параболы.

Для расчета коэффициентов а, b, с способом координат точек используем координаты 2-й, 4-й и 6-й точек:

x2 = 14,9;	x4 = 15,6;	x6 = 16,7;
y2 = 13,7;	y4 = 14,5;	y6 = 14,6.

Подставляя значения координат точек в общее уравнение параболы второго порядка (6.7), получаем систему уравнений, которую решаем относительно а, b, с:

В результате a = 0,066; b = –0,19; с = 1,94. С помощью уравнения параболы (6.7) имеем следующую зависимость между переменными: y = 0,066x² – 0,19x + 1,94, η_0,95 =0,78.

Для вычисления коэффициентов а, b, с по способу наименьших квадратов используется общее уравнение параболы второго порядка. Подставив в формулу (6.7) все имеющиеся данные и просуммировав правые и левые части уравнений, получаем первое уравнение системы:

Второе и третье уравнения системы определяем путем умножения соответственно на х и х² исходного общего уравнения параболы второго порядка. В результате имеем систему трех уравнений:

(6.8)

Конкретные данные для уравнения (6.8) рассчитаны по табл. 6.4.

Пример. Решаем систему (6.8) относительно а, b, с:

84,8 = 1450,44a + 93,2b + 6c;

1319,18 = 22615,93a + 1450,44b + 93,2c;

20560,10 = 353321,18a + 22615,93b + 1450,44c;

Таблица 6.4

Расчет данных для уравнения параболической зависимости

x	y	xy	x2	x3	x2y	x4
14,7	13,1	192,57	216,09	3176,52	2830,78	46694,89
14,9	13,7	204,13	222,01	3307,95	3041,54	49288,44
15,3	14,2	217,26	234,09	3581,58	3324,08	54798,13
15,6	14,5	226,20	243,36	3796,42	3528,72	59224,09
16,0	14,7	235,20	256,00	4096,00	3763,20	65536,00
16,7	14,6	243,82	278,89	4657,46	4071,79	77779,63
Σ 93,2	84,8	1319,18	1450,44	22615,93	20560,10	353321,18

Имеем параметры а, b, с: а = – 0,014; b = 1,13; с = – 0,93. Таким образом, уравнение параболы 2-го порядка, полученное по способу наименьших квадратов, примет следующий вид: y = – 0,014x² + 1,13x – 0,093. Сравним уравнения параболы, полученные двумя способами, подставив в эти уравнения одно из значений х (14,7 °С):

y = 0,066x² – 0,19x + 1,94 = 14,26 – 2,79 + 1,94 = 13,41

по способу координат точек;

y = – 0,014x² + 1,13x – 0,093 = 3,02 + 16,61 – 0,093 = 13,49

по способу наименьших квадратов.