Расчет данных для определения точности выравнивания линии
y |
α-отклонения |
β-отклонения |
|||
yф |
yв |
уф – Мф |
(уф – Мф)2 |
уф – ув |
(уф – ув)2 |
18 |
27,8 |
–42 |
1764 |
–9,8 |
96,04 |
48 |
30,1 |
–12 |
144 |
17,9 |
320,41 |
42 |
34,7 |
–18 |
324 |
7,3 |
53,29 |
31 |
41,6 |
29 |
841 |
–10,6 |
112,36 |
56 |
60,0 |
–4 |
16 |
–4,0 |
16,00 |
84 |
76,1 |
24 |
576 |
7,9 |
62,41 |
56 |
76,1 |
–4 |
16 |
–20,1 |
404,01 |
68 |
78,4 |
4 |
16 |
–10,4 |
108,16 |
90 |
87,6 |
30 |
900 |
2,4 |
5,76 |
107 |
87,6 |
47 |
2209 |
19,4 |
376,36 |
Мф=60 |
|
|
Σ 6806 |
|
Σ 1554,80 |
Ошибку уравнения регрессии можно определить по формуле
,
где п – число точек линии регрессии (см. рис. 6.2); k — число коэффициентов в уравнении регрессии (два плюс свободный член уравнения).
6.2. Гиперболическая зависимость
При проведении исследований может быть установлена нелинейная зависимость между аргументом и функцией, представляющая собой на графике кривую в виде гиперболы. Общее уравнение регрессии для гиперболической зависимости имеет вид
y = a/x + b (6.5)
где х – аргумент; у – функция; а и b – коэффициенты, величину которых следует установить.
Расчет сводится к следующему. Чтобы установить вид зависимости между функцией и аргументом, по исходным данным строится график. Затем при вычислении параметров а и b по способу координат точек подбираются две точки, расположенные на кривой или около нее по методу, описанному для линейной регрессии (см. п. 6.1). Для этих же параметров по способу наименьших квадратов используется система уравнений
(6.6)
Эта система получена в результате умножения на х и х2 исходных уравнений по х и у:
Пример. Установим зависимость между температурой воздуха в июле (х, °С) и относительной влажностью воздуха (y, %) по следующим исходным данным:
xi |
14,7 |
14,9 |
15,3 |
15,6 |
16,0 |
16,7 |
yi |
80 |
78 |
76 |
75 |
74 |
73,7 |
При построении графика видно, что зависимость между функцией и аргументом гиперболическая, поэтому используем общее уравнение гиперболы. Для расчета параметров а и b по способу координат точек используем данные первой и шестой пары наблюдений: х1 = 14,7, y1 = 80; xв = 16,7, yв = 73,7. Подставляем эти данные в общее уравнение (6.5), предварительно преобразовав его: ху = а + bх. Получим систему уравнений
Решаем систему относительно а и b : a = 773,22; b = 27,4. В результате конкретное уравнение регрессии для гиперболической зависимости по способу координат точек будет иметь вид y = 773,22/x + 27,4; η0,99 = 0,84.
Для установления параметров а и 6 по способу наименьших квадратов по уравнению (6.6) предварительно проводим соответствующие вычисления (табл. 6.3). Полученные данные подставляем в уравнение (6.6):
Делим первое уравнение на 6, второе уравнение – на 93,2 и освобождаемся от коэффициентов при неизвестном а. Затем вычитаем второе уравнение из первого и определяем b. Подставив значение b в одно из уравнений, вычисляем а. Искомое уравнение регрессии примет вид y = 484597,4/x – 31280; η0,95 = 0,84.
Коэффициент точности выравнивания линии r1 по формуле (6.4) рассчитываем таким же образом, как в п. 6.1.
Таблица 6.3