6.1. Линейная зависимость

Линейная регрессия на графике изображается в виде прямой так, чтобы точки эмпирической линии располагались по обе стороны ее и по возможности ближе к ней.

Известно следующее уравнение линейной регрессии:

y = ax + b (6.1)

где у – значение зависимой переменной (признак); х – значение независимой переменной (фактор, влияющий на признак); а – коэффициент регрессии, показывающий степень зависимости между переменными (может быть также выражен тангенсом угла наклона линии регрессии к оси абсцисс); b – ордината линии, показывающая смещение начала прямой относительно начала координат.

Определим двумя способами неизвестные параметры а и b. Используем для этого пример нахождения линейной корреляции (см. п. 5.1).

Пример. Следует установить, как влияет гидролитическая кислотность (х_i, мэкв. на 100 г почвы) на содержание подвижного марганца (у_i, мг/кг почвы). В результате аналитических работ получены следующие данные:

хi	69	70	72	75	83	90	91	95	95
уi	18	48	42	31	56	84	68	90	107

Для решения поставленной задачи используем способ координат точек. Результаты наблюдений наносим на график, затем проводим прямую так, чтобы число точек по обе стороны линии было одинаковым (рис. 6.2). Для расчета параметров а и b выбираем две точки, которые находятся на прямой или рядом с ней (одну в начале и одну в конце). Используем координаты точек 1-й и 8-й: x₁ = 69, у₁ = 18; х₈ = 95, y₈ = = 90. Подставляя значения переменных в общее уравнение прямой, получаем систему уравнений:

Решаем эту систему относительно а и b: b = 18 – 69 а; 90 = 95a + (18 – 69a); 72 = =26a; a = 2,76 (или tg = 70^°06'); b = 18 – 69 ∙ 2,76 = –173,07. Получив количественное значение параметров a и b, связь между х и у можно выразить конкретным уравнением регрессии:

y = 2,76x – 173,07, r_0,99 = 0,87.

Это уравнение можно использовать для расчета содержания марганца, если имеются данные по гидролитической кислотности (с учетом заданных условий).

Приведенное выше уравнение регрессии можно получить также способом наименьших квадратов, используя координаты всех точек. Этот способ заключается в построении такой линии на графике, чтобы сумма квадратов отклонений от нее до точек эмпирической линии регрессии была наименьшей. Для определения параметров а и b составляется система уравнений:

(6.2)

Систему уравнений выводим следующим образом. Подставляем в общее уравнение прямой (6.1) все имеющиеся значения по гидролитической кислотности (х) и содержанию подвижного марганца (y), суммируем правые и левые части и получаем первое уравнение:

(6.3)

Рис. 6.2. Сравнение местоположения эмпирических линий (1, 2) с теоретической (3) по зависимости содержания подвижного марганца у от гидролитической кислотности х ( α = 70^o06' = tg_x 2,76): для эмпирических линий 1 y = 2,30x – 130,9;

для 2 y = 2,76x – 173,0; r_0,99 = 0,87.

Затем каждое исходное уравнение из (6.3) умножаем на соответствующее значение х; просуммировав правые и левые части, получим второе уравнение:

Для расчета параметров а и b составляем табл. 6.1. Полученные данные подставляем в систему уравнений (6.2):

Решая систему, находим искомые параметры: а = 2,30 (tg = 66°30'); b= = –130,9. Подставив полученные показа­тели в искомое уравнение регрессии, находим y = 2,30x –130,9, r_0,99=0,87.

Хотя значения параметров а и b, рассчитанные двумя способами, близки между собой, второй способ (наименьших квадратов) более точно определяет положение линии регрессии.

Таблица 6.1