5.2. Нелинейная корреляция
Зависимость между признаками не всегда выражается в виде прямой линии. Если рассеяние точек на графике приближается к кривой линии (см. рис.5.1, в, г), то зависимость устанавливается с использованием корреляционного отношения (η), величина которого изменяется только от 0 до 1. Для него теоретические значения приводятся отдельно в таблице или находятся при перерасчете его в критерий Стъюдента. При нелинейной корреляции вычисляется корреляционное отношение (η).
Для установления формы связи иногда используется критерий криволинейности в случаях, когда кривая линия мало отличается от прямой. Существует несколько способов оценки степени криволинейности. Рассмотрим два из них.
Первый способ менее точный. Оценка степени криволинейности определяется по разности коэффициента корреляции и корреляционного отношения использованием неравенства: η2 – r2 ≥ 0,1. Корреляция считается криволинейной, если полученный результат соответствует этому неравенству. Предварительно следует рассчитать между сравниваемыми выборками r и η.
Второй способ оценки степени криволинейности связан с применением критерия Стъюдента:
t = 0,5
≥ 3.
Если tвыч < 3 или tвыч < tтабл, то рассматриваемая связь несущественно отклоняется от прямолинейной, поэтому относим ее к линейной. В других случаях связь между признаками относят к криволинейной и рассчитывается корреляционное отношение.
Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции, используется для оценки прямой и обратной зависимости между признаками.
Оценка прямой нелинейной зависимости между признаками. Нелинейная зависимость прямая определяется как параболическая. Расчет корреляционного отношения производится по формуле с использованием функции у:
, (5.6)
где
– среднее арифметическое частных групп
по yi;
n
– число вариант в частной группе;
– My
– отклонение общего среднего (My)
от средних арифметических частных групп
(
).
Ошибка корреляционного отношения независимо от способа расчета вычисляется следующим образом:
mη
=
(5.7)
Критерий Стьюдента определяется с использованием η:
tη = η / mη. (5.8)
Если tвыч > tтабл, то корреляционное отношение признается достоверным.
Пример. Следует установить, существует ли зависимость между температурой воздуха (х, оС) и упругостью водяного пара (у, мбар) по шести метеорологическим постам Беларуси исходя из следующих данных:
-
xi
14,7
14,9
15,3
15,6
16,0
16,7
yi
13,3
13,7
14,2
14,5
14,7
14,6
При построении графика получена кривая близкая к параболе (рис. 5.4).
По исходным данным (табл. 5.2) рассчитываем
корреляционное отношение между х
и у. Выборку разбиваем на частные
группы по значениям у. Их должно
быть не менее трех. В нашем примере
выделены частные две группы для сокращения
расчета. Для частных групп рассчитываются
средние (
)
и отклонение их от общей средней для
выборки (Му), а также
отклонения индивидуальных вариант
выборки (уi) от общей средней
(Му). Сумму отклонений в
квадрате из табл. 5.2
заносим в формулу (5.6) и вычисляем η.
ηу =
=
0,79.
Ошибку корреляционного отношения находим по формуле (5.7):
mη =
=
0,31.
Достоверность результатов определяем по критерию Стъюдента (5.8):
tη = 0,78 / 0,31 = 2,51.
Поскольку tη = 2,51 < tтабл= 2,78 при Р 0,95 для ν = 4 (см. прил. 4), то значение корреляционного отношения следует признать не доказанным, а зависимость между температурой воздуха и упругостью водяного пара положительна, но не достоверна.
Рис. 5.4. Кривая зависимости упругости водяного пара (х) от температуры воздуха
Таблица 5.2