Расчет показателя энтропии для установления оптимального времени отбора образцов

Границы класса, дни	Середина класса, x	Частота f	Частость ω = f/N	ln ω	– ω ln ω
1–5	3	5	0,0116	–4,46541	0,0518
6–10	8	38	0,0882	–2,42815	0,2142
11–15	13	120	0,2784	–1,27870	0,3560
16–20	18	160	0,3712	–0,99101	0,3679
21–25	23	68	0,1578	–1,84643	0,2914
26–30	28	20	0,0464	–3,07046	0,1425
31–35	33	12	0,0278	–3,58272	0,0996
36–40	38	6	0,0139	–4,27587	0,0594
41–45	43	1	0,0023	–6,07485	0,0140
46–60	48	1	0,0023	–6,07485	0,0140
	Σ 431		0,9999		1,6108

4.2. Применение информационного анализа в картографии

При составлении карты необходимо использовать методы оценки объема информации (оценка абсолютного объема содержания карты). Визуальная оценка карты, например «богатое содержание», «малосодержательна», не несет в себе элементов достоверности. Дать объективную оценку нагрузки карты можно с помощью информационного анализа. Для этой цели вводится понятие информационная емкость карты – количественная мера объема содержания карты, выражающая в условных единицах общее количество информации, которое можно получить. Информационная емкость может быть выражена в легенде карты отдельным условным знаком (в битах).

Кроме оценки абсолютного объема содержания карты, важна степень полноты отображения исследуемого явления (отношение объема содержания карты к ее структурной модели, считающейся условно полной). Та часть информационной емкости карты, которая отображает ее тематическое содержание, названа специальной информационной емкостью карты (количество отображаемых показателей и их градаций и число характеризуемых ими географических объектов).

Для расчета специальной информационной емкости J_S рекомендуется использовать при определенных условиях следующие формулы, в которых применяются двоичные логарифмы.

1. На карте нанесен один вид объектов, характеризующихся одним показателем при числе объектов N и градаций D:

J_S = log₂ N D = log₂ N + log₂ D.

2. Для N объектов одного вида приведено два показателя с числом градаций D₁ и D₂.

J_S = log₂ N D₁D₂ = log₂ N + log₂ D₁ + log₂ D₂.

Если число показателей равно т и число градаций каждого показателя D₁, D₂, …, D_i, …, D_m, то формула примет вид

.

3. На карте выделено два вида объектов N₁, N₂, каждый из них имеет по одному показателю, число градаций соответственно D₁ и D₂:

J_S = log₂ (N₁D₁ + N₂D₂).

4. На карте выделено два вида объектов N₁, N₂, по каждому объекту приведено два показателя. Число градаций по показателям составляет соответственно по две:

J_S = log₂ (N₁А₁А₂ + N₂ В₁В₂),

где А₁, А₂ и В₁, В₂ – первая и вторая градации первого и второго вида объектов соответственно.

Имеется оригинальный способ применения информационных функций при анализе карт с использованием натуральных логарифмов для характеристики неоднородности картографического изображения. Предположим, на участке карты показано n районов (ареалов). Требуется определить и выразить количественную меру их неоднородности или степень разнообразия картографического содержания. При наличии на карте лишь одного участка показатель неоднородности равен нулю (Н = 0). При увеличении числа ареалов неоднородность участка карты увеличивается, и показатель Н будет возрастать. Если число районов на участке карты остается постоянным, то неоднородность картогра­фического изображения будет зависеть от площади S_i каждого района. Неоднородность достигает максимума (Н = max), если их площади равны между собой. Всем перечисленным условиям отвечает функция энтропии для дискретного распределения:

. (4.3)

Показатель энтропии может быть вычислен для явлений, имеющих на картах абсолютную или относительную числовую характеристику (например, количество осадков) и не имеющих никакой количественной характеристики (границы распространений форм рельефа). Для подсчета показателя абсолютной энтропии необходимо определить вероятность наличия каждого района на карте, т. е. отношения площади каждого контура (S_i) к площади всех контуров n на карте:

. (4.4)

Вероятность того, что на карте будут помещены участки с максимальной площадью, будет тем больше, чем мельче масштаб.

Показатель относительной энтропии удобен для сравнительной характеристики неоднородности картографического изображения на двух или более разных участках. Вычисляется по формуле

. (4.5)

Приведем конкретный пример. Для двух участков поверхности с кратерным расчленением (С₁, С₂) измерены диаметры кольцевых структур и подсчитаны их вероятности по формуле (4.4). Вычисленные значения энтропии для участков С₁ и С₂ соответственно равны: Н(С₁) = 1,114; Н(С₂) =  0,738; Н(С₁) = 0,71; Н(С₂) = 0,53. Отсюда следует, что второй участок С₂ более однороден по кратерному расчленению поверхности, чем первый С₁, так как показатели абсолютной энтропии по участку С₂ меньшие, чем по участку С₁.

Информационные показатели предлагается также использовать и для оценки степени взаимного соответствия явлений на картах разного содержания. Пусть на одной карте изображено явление Z, состоящее из п ареалов или градаций Z₁, Z₂, ..., Z_i, ..., Z_п с вероятностями Р₁, Р₁, ..., Р_i, ..., Р_n. На другой карте отражено явление L, имеющее т ареалов l₁, l₂, ..., l_j, ..., l_т с вероятностями Р₁, Р₁, ..., Р_j, ..., Р_n. Если эти явления независимы, то их совместная энтропия равна сумме индивидуальных энтропий:

. (4.6)

Если некоторые из ареалов Z_i совпадают с ареалами l_j, то энтропия системы ZL выразится следующим образом:

, (4.7)

где Р_ij – вероятность совпадения ареалов.

Энтропия независимых событий всегда больше энтропии зависимых событий: Н(Z+L) > Н(ZL), причем разность Т(ZL) служит показателем взаимного соответствия явлений Z и L и отражает уменьшение неопределенности за счет внутренних ограничений в системе ZL:

Т(ZL) = H(Z + L) – H(Z ∙ L). (4.8)

Взаимосвязь можно оценить отношением, которое называется информационным коэффициентом:

K(ZL) = [T(ZL) / H(ZL)] ∙ 100. (4.9)

Информационный коэффициент изменяется в пределах от 0 до 100%. Если K(ZL) = 0, то явления Z и L не связаны между собой. При K(ZL) = 100% имеет место однозначное функциональное состояние между явлениями, т. е. Р_i, Р_j, и Р_ij равны между собой и Н(Z) = Н(L) = Н(ZL). Тогда Т(ZL) = Н(Z + L) – Н(ZL) = Н(ZL), значит, К(ZL) = 100%.

Таблица 4.2

Решетка для вычисления информационных показателей

L	Z				nL
	1	2	3	…	nLPL – PL ln PL
1	3	9		…	14
	0,005	0,010		…	0,020
	0,027	0,046		…	0,084
2			1		9
			0,002		0,020
			0,012		0,084
3	…	…	…	…	…
nZPZ – PZ ln PZ	5	14	…	…	630
	0,008	0,02	…	…	1,000
	0,038	0,084	…	…	5,400

Пример. Предположим, нам необходимо сравнить связь контуров почв (Z) и растительности (L) для одного и того же района, но нанесенных на отдельные специальные карты. На обе карты помещаем квадратную точечную палетку. Пусть всего на участке разместилось 630 точек. В каждой из них отмечены номера почвенного и растительного контуров. Для расчета показателей составляется информационная решетка (табл. 4.2). В каждой клетке таблицы, образованной пересечением строк и столбцов, проставлено по 3 показателя: 1) количество точек, попавших одновременно в пределы i-го (почвенного) и j-го (растительного) контуров (верхнее число); 2) величина вероятности Р_ij (среднее число); 3) произведение Р_ijlnР_ij (нижнее число). Результаты суммируются для контуров растительности и почвенных контуров. После вычисления информационных функций получены результаты:

;

;

Н(Z)_r = 2,060 : ln 12 = 0,83;

Н(L)_r = 1,882 : ln 13 = 0,73;

;

;

Т(ZL) = H(Z + L) – H(Z ∙ L) = 0,486;

K(ZL) = [T(ZL) / H(ZL)] ∙ 100 = 14,1 %.

Таким образом, значение абсолютной и относительной энтропии для явления L меньше, чем для Z, несмотря на увеличение числа градаций. Карта растительности обладает большей однородностью (Н(L) = 1,882), чем почвенная (Н(Z) = 2,060).