Число разбиений в зависимости от их заданной доли и вероятности

β	P
	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999	0,9999
0,20	8	11	14	21	31	42
0,10	16	22	29	44	66	88
0,05	32	45	59	90	135	180
0,01	161	230	299	459	689	918
0,001	1626	2326	3026	4652	6977	9303
0,0001	17475	25000	32526	55000	75000	100000

В качестве меры разнородности рассматривается мера принадлежности. При решении задач кластерного анализа принимаются следующие условия: а) выбранные характеристики допускают желательное разбиение на кластеры; б) единицы измерения (масштаб) выбраны правильно (это обусловлено тем, что разбиение на кластеры зависит от выбора масштаба). Наиболее прямой способ решения задачи заключается в полном переборе всех возможных разбиений на кластеры и отыскании такого, которое ведет к оптимальному (минимальному) значению целевой функции. Целевая функция как критерий оптимальности представляет собой некоторый функционал, выражающий уровни возможности различных разбиений и группировок. Например, в качестве целевой функции может быть использована внутригрупповая сумма квадратов отклонений . Приведем пример кластеризации с помощью полного перебора (все возможные варианты сочетаний). Если число объектов п = 8, кластеров т = 4, то число возмож­ных разбиений составляет 1701, т. е. существует 1701 способ разбить 8 объектов на 4 кластера (табл. 3.2). Число разбиений можно определить также по формуле .

Разбиение в конечном итоге должно удовлетворять критерию оптимальности, т. е. целевому функционалу (целевой функции).

Таблица 3.2

Число разбиений в зависимости от сочетаний числа кластеров и объектов

n	m
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1
2	1	1
3	1	3	1
4	1	7	6	1
5	1	15	25	10	1
6	1	31	90	65	15	1
7	1	63	301	350	140	21	1
8	1	127	966	1701	1050	266	28	1

Метод дендритов. Исследуемые объекты, разделенные на кластеры, можно изобразить в виде дендрограммы, которая представляет собой графическое изображение матрицы расстояний или сходства. Такой анализ объектов исследования носит название метода дендритов. Имея п объектов, можно построить большое количество дендрограмм, которые соответствуют избранной процедуре кластеризации. Для конкретной матрицы расстояний или сходства существует только одна дендрограмма.

Представим дендрограмму с шестью объектами (n = 6) (рис. 3.1). Объекты 1 и 3 наиболее близки, т. е. наименее удалены друг от друга, поэтому объединяются в один кластер на уровне сходства, равном 0,9 (образуют 1-й шаг). Объекты 4 и 5 объединяются при уровне сходства 0,8 (2-й шаг). На 3-м и 4-м шагах процесса образуются кластеры 1, 3, 6 и 5, 4, 2, соответствующие уровню сходства соответственно 0,7 и 0,6. Окончательно все объекты группируются в один кластер при уровне сходства 0,5.

Вид дендрограммы зависит от выбора меры сходства или расстояния и метода кластеризации. Например, разработаны алгоритмы кластерного анализа, позволяющие проводить классификацию (группировку) многомерных наблюдений (строк и столбцов матрицы х) с помощью следующих мер сходства: выборочного коэффициента корреляции, модуля выборочного коэффициента корреляции, косинуса угла между векторами, модуля косинуса угла между векторами, эвклидова расстояния и т. д.

Выделяются группы взаимосвязанных признаков (см. рис. 3.2). Достоверно положительно связаны температура и содержание оксидов железа и гидрокарбонат-иона. На среднем уровне положительно связаны влага, подвижные формы органического вещества и анаэробные бактерии. Еще одну группу образуют концентрация щелочноземельных элементов и углекислоты почвенного воздуха. Сравнение дендрограмм показывает, что изучаемые признаки хвойной и мелколиственной фации однотипны. Это свидетельствует о внутренней однородности протекающих в них процессов и подтверждает их генетическое единство. На залежи, как производной от природных ландшафтов, наблюдаются менее тесные связи между показателями внутри фации.

Рис. 3.1. Общий вид дендрограммы:

I – сходство, II – расстояние

Рис. 3.2. Дендрограммы корреляционных связей почвенно-биогеохимических показателей темнохвойной (I), мелколиственной (II) фаций и залежи-пашни (III): 1 – влажность, 2 – температура; органическое вещество: 3 – водорастворимое, 4 – кислоторастворимое; ионы водной вытяжки: 5 – Са²⁺, Мg²⁺, 6 – НСО₃^–; подвижные формы железа: 7 – FeО, 8 – Fe₂О₃; 9 – анаэробные бактерии; 10 – оксид углерода почвенного воздуха