Бинарные отношения и способы их задания.
Пусть А В произвольные мно-ва, прямым или декартовым произведением множеств А*В взятых в указанном порядке. И состоит из всех упорядоченных пар вида (а, в). а€А в€В.
Декартовым квадратом наз. А2=А*А
А2={a,b,c}={a,b,c}*{a,b,c}={(aa)(ab)(ac)(ba)(bb)(bc)(ca)(cb)(cc)}
Бинарным отношением между элементами множ.А и В наз всякое подмножество Г их прямого произведения. Г©А*В
Бинарным отношением на А наз Г©А2
Г©А2 – БИНАРОНОЕ ОТНОШЕНИЕ НА А и А(ав)€Г
Элемент в€А наз образ элемента а
Элемент а наз прообраз эл.в
Множество всех образов образует полный образ
Множество всех прообразов образует полный прообраз.
Способы задания множеств
Перечислением всех пар в него входящих (если множество конечно)
Указанием характеристического свойства, которым обладают все пары входящие в это отношение.
Г={a,b} a€R b€R a2+b2=1
При помощи графика, если А есть часть веществ.оси или вся ось.
Г={(a,b)| a€R b= a2 }
При помощи направленного графа этого отношения
При помощи матрицы этого отношения
Матрица из 1 если нет и 0 если есть пара.
При помощи характеристической функции µ(а,а)… ниже пишется значение 1 или 0.
Композиции бинарных отношений.
Пусть Г2 и Г2 – бинарные отношения на А.
Композицией бинарного отношения Г1 И Г2 взятых в указанном порядке наз бинарное отношение Г1оГ2, которое определяется след образом:
V(а,в)€А, (а,в)€ Г1оГ2, тогда когда Ес€А, что (а,с)€Г1 и (с,в)€Г2
Это выполняется с помощью матриц бинарных отношений.
Умножением матриц бинарных отношений наз максимильное умножение. Стока на столбец.
Свойства бинарных отношений
рефлексивность., если имеет пары с равными компонентами (а,а)
симметричность, если (а,в)€Г и (в,а)€Г
Антисимметричность, (а,в)€Г и (в,а)€Г а=в
Транзитивность (а,в) и(в,с)€Г и (а,с)€Г
Если рефлексивно, транзитивно и симметрично = отношение эквивалентности.
Если транзитивно и антисимметрично = отношение порядка.
Нечёткие бинарные отношения. Способы их задания.
Пусть U какое либо мно-во.
U2 – квадрат, т.е. множество всех упорядоченных пар.
НБО – это всякое нечёткое под.мн. Г или U2
Г = {µГ(Ui,Uj)/(Ui,Uj)}
Способы задания НБО:
Перечисление всех пар в него входящих(конечные)
Указание характеристического свойства
Г={(a,b)| a,b€U}
При помощи направленного графа
При помощи матрицы инцидентности
Декомпозиция НБО.
Разложение НБО по множествам £ уровня наз декомпозиций НБО.
Г=£*D£, £€[0.1]
Каждое множ-во D£ является чётким подмн. U2, (D© U2)
Для всякой пары (х,у)€ D£ должно выполнятся: µГ(х,у)=>£,
Разложив НБО на множества £ уровня переходим к обычным подмн.
Свойства НБО.
Рефлексивность, если все элементы главной диагонали матрицы =1
Симметричность, когда матрица является симметрической , т.е. выполняется транспонирование матрицы.
Антисимметричность, когда матрица обладает свойством µГ(Ui,Uj)= µГ (Uj,Ui)=0
Транзитивность, когда каждый элемент матрицы Г2 НЕ ПРЕВОСХОДИТ элемнты матрицы Г.
Виды НБО. Отношение предпорядка и сходства.
Отношение предпорядка – рефлексивное и транзитивное НБО.ся Выполняется неравенство: Jг2=> Jг, где Jг2= Jг* Jг
Отношение сходства - это рефлексивное и симметричное НБО. Задается матрицей сходства.
Отношение несходства и подобия.
Отношение не сходства – это отношение антирефлексивное и симметричное.
Отношение подобия – это отношение, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно.