15. Связь булевых и арифметических операций.

Операции объединения, пересечения, умножения и сложения обладают свойствами:

• А(ВvC)=(AB)v(AC)

• A(BʌC)=(AB)ʌ(AC)

• A+( ВvC)= (A+B)v(A+C)

• A+( ВʌC)= (A+B)ʌ(A+C)

Дистрибутивные законы:

1. А(ВvC)= (AB)v(AC)

µА(ВvC)=µА(х)*µ ВvC(х)= µА(х)*max(µ В(x), µ C(x))=max(µА(х)*µB(х), µА(х)* µC(х))= µА(х)*µB(х), если µB(х)=> µC(х) и µА(х)* µC(х), если µB(х)< µC(х)

µ(АВ)* µ(АС)= max(µАВ(х), µАС(х))= max(µА(х)*µB(х), µА(х)* µC(х))= µА(х)*µB(х), если µB(х)=> µC(х) и µА(х)* µC(х), если µB(х)< µC(х)

Если функции принадлежности равны то и множества равны.

16. Другие операции над нечёткими множествами.

Множество в степени £

Степенью £ нечёт.мн.А наз. Множество, которое обозн. А^£ и определяется равенством:

А^£={µ А^£(х)/х}, где µ А^£(х)=( µ А(х))^£ - чтобы нечёт.мн.А возвести в степень нужно в эту степннь возвести его функцию принадлежности.

Частные случаи:

• Операция концентрирования: con(A)=A²

• Операция растяжения dil(A)= A^0.5

• £A={ µ £A (x)/x}, µ £A (x)= £ *µ A (x)- функцию принадлежности умножаем на число.

17. Оператор нечёткости

Пусть U – универсум. I – множество всех его подмножеств, четких и нечт.мн.

На I используя оператор К, который наз.оператор нечёткости, или оператор увеличения нечёткости.

Этот оператор используется для преобразования чётких множеств в нечёткие множества, или для увеличения нечёткости нечётких множетсв.

Оператор задаётся матрицей: Пусть U={1,2,3,4}

К=(к11к12к13к14; к21к22к23к24; к31к32к33к34; к41к42к43к44)

Возьмём произвольное множество А= µА(1)/1+ µА(2)/2.+ µА(3)/3+ µА(4)/4.

Оператор К преобразует первый элемент мн.А, т.е. элемент µА(1)1 в нечёт.под.мн. А1 СЛЕД вида: µА(1)1= max µА(1)*К(11)/1+ µА(1)+К21/2+ µА(1)*К31/3+ µА(1)*К41/4= Σ µА(1)*К. Строка на столбец.

Аналогично преобразуются остальные элементы нечт.мн.А.

18. Множества £ уровня. Теорема разложения чет.Мн.А по множествам £ уровня.

Множеством £ уровня (А^£) наз.нечёт.мн.А., которое состоит из тех элементов х€ U, для которых выполняется равенство µА(х)=>£.

Пусть U={1,2,3,…,10}

Даны нечёт подмн.: А=0,1/1+0,3/2+0/3+0/4+0,4/5+0,7/6+0/7+0/8+0,8/9+1/10

Напишем возможные значения функции принадлежности: 0<0.1<0.3<0.4<0.7<0.8<1

Строим множества альфа уровня:

А⁰={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}=0/1+0/2+…+0/10

А^0,1={1,2,5,6,9,10}=0,1/1+0,1/2+…

А^0,3={2,5,6,9,10}=0,3/2+0,3/5+…+0,3/10

А^0,4={5,6,9,10}=0,4/5+0,4/6+…+0,4/10

А^0,7={6,9,10}=0,7/6+0,7/9+…

А^0,8={9,10}=0,8/9+…

А¹={10}=1/10

Теорема :

U –универсум. А-нечт.под.мн. µА(х) –функция принадлежности.

М-множество, которое состоит из всех значений функции принадлежности µА(х) которые соответ.А.

D- множетсво неотриц.ыещ.чисел, которое удовлетворяют условию: М© D и тогда А=Σ А^£=Σ£А^£

Теорема верна когда носитель UА является множеством непрерывным.

19. Методы построения функции принадлежности. Прямой и косвенный.

Прямой метод

Здесь при определении нечёткого множества прямо задаётся значение функции принадлежности для каждого значения универсума.

При этом не требуется слишком точное значение функции принадлежности. Достаточно фиксации её общего вида и указания характеристического значения.

Косвенный метод

Если у формализуещего объекта есть какие либо измеримые свойства, то используют данный метод.

К таким методам относят: метод попарных сравнений на конечных дискретным множествах.

Для этого строят матрицу, которая должна удовлетворять требованиям:

• Все элементы её главной диагонали =1

• Элементы симметричные относительно главной диагонали должны быть взаимообратными т.е.aij*aji=1