5. Нечеткие подмножества

Нечёткое подмножество – отличается от обычного термина, для всякого х€U, нет однозначного ответа «да» или «нет» относительно R.

Будем называеть нечётким подножетсвом U множетсво упорядоченных пар вида µа(х)/х, где х – элемент из U, µа(х) – значение характеристической функции. А = { µа(х)/х }

6. Пример записи нечеткого подмножества

Пусть U={x1,x2,x3,x4,x5}

M=[0,1]

A – нечёткое подмножество U для которого задано:

µа(х1)=0,3

µа(х2)=0

µа(х3)=1

µа(х4)=0,5

µа(х5)=0,9

Формы записи:

• А={0,3/x1; … ; 0,9/x5}

• А={0,3/x1+ … +0,9/x5}

• A=

Х1	…	Х5
0,3		0,9

Общая форма записи: А=Σ µа(ui)/ ui (ui€U)

7. Диаграмма Заде.

Диаграмма Заде – это представление нечёт.мн.А в виде графика его принадлежности в системе координат.

Изобразим два множества

А=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5

В= 0,5/3+0,6/5+0,8/5+0,9/6

8. Основные характеристики нечётких множеств

Пусть U – универсум.

А – нечёткое подмножество.

М=[0,1]

• Величина sup µа(х) – высота нечёт.мн. А.

Высота = 1, множество наз.нормальным.

Высота<1 –наз.субнормальным.

• Нечёт.мн.А наз. Пустым, если его функция принадлежности = 0.

• Нечёт.мн.А наз. Универсальным, если есть только один элемент х€U, со значением функции принадлежности =1.

• Носителем неч.множ.А наз. Обычное множество которое состоит из µа(х)>0

• Элемент µа(х)=0,5 точка перехода нечёт.мн.А.

• Диаграмма Заде – это представление нечёт.мн.А в виде графика его принадлежности в системе координат.

9. Примеры нечёт множеств.

Пусть U={x1,x2,x3,x4,x5}

M=[0,1]

A – нечёткое подмножество U для которого задано:

µа(х1)=0,3

µа(х2)=0

µа(х3)=1

µа(х4)=0,5

µа(х5)=0,9

Формы записи:

• А={0,3/x1; … ; 0,9/x5}

10. Отношение включения и отношение равенства нечёт. Множеств и их свойства.

Отношение включения – нечёт.мн.А включено или нестрого содержится в В (А©В). Если Vx€U, µа(х)<= µв(х).

А строго включено в В (АсВ) если выполнены два требования:

• Vx€U, µа(х)<= µв(х).

• Есть хотя бы один x€U, µа(х)< µв(х).

Равенство множеств - Нечёт.мн. А наз. Равным тогда, Vx€U, µа(х)=µв(х).

Отношение включения обладает свойствами:

• ¢©А, А©А

• А©А, если А©В и В©А, А=В

• А©В,В©С, А©С

• АсВ и ВсС то АсС

11. Операции дополнения множеств.

Пусть U – УНИВЕРСУМ. M=[0,1],А и В – нечёт.под.мн

Говорят, что А и В дополняют друг друга, если x€U выполняется равенство: µа(х)+µв(х)=1 и пишут В(ОТРИЦАНИЕ)=А или А = В(ОТРИЦАНИЕ).

Свойство = закон двойного дополнения А¯¯ =А.

12. Пересечение, объединение, разность нечётких множеств. Их дизъюнктивная функция.

13. Свойства булевых операций над нечёткими множествами

14. Алгебраические операции над нечёткими множествами и их свойства.

• Алгебраическим произведением нечетких множеств А*В наз. Нечёт множество А*В и определимое равенство А*В={ µа*b(х)/x} µа*b(х)= µа(х)* µb(х) –произведение функций принадлежности.

• А+^В = µа(х)+ µb(х)- (µа(х)* µb(х))

• В+^А = µb (х)+ µа(х)- (µb (х)* µа(х))

Свойства А+^В и А*В:

• Коммутативность

А*В=В*А и А+^В = В+^А

• Ассоциативность

(А*В)*С=А*(В*С) и (А+^В) +^С=А+^ (В+^С)

• Действия с константами

А*¢=¢ и А+^¢=А

А*U=A и А+^U= U

• ДеМоргана

А*В(ОТРИЦ)=А+^В и А+^В(ОТРИЦ)=А*В