10.4 Принятие решений в условиях риска

Основными критериями оценки принимаемых решений в усло­виях риска являются:

- ожидаемое значение результата;

- ожидаемое значение результата в сочетании с минимизацией его дисперсии;

- известный предельный уровень результата;

- наиболее вероятное событие (исход) в будущем.

Критерий ожидаемого значения используется в случаях, когда требуется определить экстремальное значение (max или min) ре­зультативного показателя (прибыль, расходы, экономические поте­ри и т. д.). Применение этого критерия рассмотрим на конкретном примере, связанном с постановкой задачи проведения ремонтно-профилактических воздействий автомобилей. Оптимальное коли­чество ремонтных воздействий, определенное минимизацией сум­марных затрат на заданной наработке L_K с учетом рисков пропуска отказов и выполнения лишних ТО, приравнивается к количеству ТО на указанном пробеге. Модель данной задачи является моделью вероятностного спроса на ремонты с мгновенным восстановлени­ем. Здесь минимизируются суммарные издержки за пробег L_K , ко­торые определяются затратами на плановый ремонт S_p, профилак­тику S_ТО и незапланированный аварийный ремонт S_щ, рассматри­ваемый как штраф за пропуск отказа:

(10.13)

Составляющие суммарных затрат формулы (10.13) зависят от ко­личества ремонтно-профилактических операций за наработку L_K, определяемых по формуле:

(10.14)

где L_от – наработка до отказа.

Наработка до отказа — величина случайная, определяемая плотностью распределения f(L_от), L_от < L_к. В силу случайности L_от величина n также будет случайной с плотностью распределения:

(10.15)

Используя f(n) как весовую функцию и выражая составляющие суммарных затрат через соответствующие стоимости из (10.15), получим

(10.16)

где С_р - средняя стоимость предупредительного (планового) ремонта;

С_то — средняя стоимость профилактики (или убыток от недоиспользования ресурса замененных при ТО деталей);

С_ш - ущерб (штраф) от пропуска отказа (или стоимость устранения аварийного отказа). Очевидно, С_ш> С_то.

Интеграл (10.15) в пределах [0, n_р] соответствует риску выполнения лишних ТО (избыточность затрат на ТО), а интеграл в пределах [n_р, ] - риску пропуска аварийных отказов (избыточность затрат на ТР по потребности). Из уравнения (10.16) находим оптимальное количество ремонтов n_р на пробеге L_к. (обычно L_к - пробег до КР). Далее, заменяя необходимые ремонты обслуживаниями, при которых выполняется комплекс операций по предупреждению отказов, включая предупредительные замены деталей, получим

(10.17)

Пример 1. Определить оптимальную периодичность ТО (у.е.) при L_к = 200 тыс. км, С_ш = 69, С_р = 24, С_то = 15, если наработки до отказа имеют нормальное распределение с параметрами = 20 тыс. км и = 5 тыс. км.

(10.18)

Решение

Выполнив преобразование распределения (10.18) по формуле (10.14), получим ( ):

(10.19)

После подстановки выражения (10.19) в (10.16) получим задачу оптимизации, для решения которой воспользуемся математичес­ким пакетом EUREKA.

Решая задачу, получим оптимальную периодичность L_ТО = 15,3 тыс. км при n_р = 13,08, которая обеспечивает минимальные сум­марные издержки S.

Критерий ожидаемого значения позволяет получить достовер­ные оценки в случае, когда одно и то же решение приходится при­нимать достаточно большое число раз, так как замена математиче­ского ожидания выборочными данными правомерна лишь при большом объеме выборки.

Если необходимость в принятии решения встречается редко, то выборочное значение может значительно отличаться от математи­ческого ожидания, а применение критерия ожидаемых значений может приводить к ошибочным результатам. В таких случаях реко­мендуется применять критерий ожидаемого значения в сочетании с минимизацией его дисперсии, что приближает выборочное значение к математическому ожиданию. Критерий принимает следующий вид:

(10.20)

где X - случайная величина (например, суммарные издержки);

D(X) — дисперсия этой величины;

К — заданная постоянная.

Постоянную К иногда интерпретируют как уровень несклонно­сти к риску. Считается, что К определяет «степень важности» дис­персии D(Х) по отношению к М(Х), Например, предприниматель, особенно остро реагирующий на большие отрицательные отклоне­ния прибыли вниз от М(Х), может выбрать K много больше едини­цы. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему большие потери прибыли.

Критерий предельного уровня не позволяет получить оптималь­ное решение, найти максимум прибыли и минимум расходов. Этот критерий дает возможность определить приемлемый (допустимый) способ действий. Например, транспортная фирма распродает авто­мобили, бывшие в эксплуатации. По каждой модели автомобиля определенного возраста определяется лимитная цена, т. е. минимально допустимая цена продажи автомобиля. Продажа автомобилей по цене ниже лимитной приведет к убыточной работе транспортной фирмы. Это и есть предельный уровень, позволяющий транспортной фирме согласиться на первое же превышающее этот уровень предложение цены. Такой критерий не определяет оптимальное решение, поскольку одно из последующих предложений может оказаться более выгодным, чем принятое.

Одно из преимуществ критерия предельного уровня заключается в том, что для него нет необходимости задавать в явном виде плотность распределения случайных величин. В нашем примере случайная величина — рыночная цена автомобиля. Транспортная фирма располагает информацией о распределении рыночных цен на подобные автомобили в неявном виде. Иначе при полном отсутствии информации о распределении рыночных цен фирма установила бы предельные цены на автомобили очень высокими или, наоборот, очень низкими.

Критерий наиболее вероятного события (исхода) основан на преобразовании случайной ситуации в детерминированную путем замены случайной величины единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.