10.3. Основные логические операции и их связки
Математическая логика рассматривает три основные логические операции, а именно: логическое умножение, логическое сложение и логическое отрицание.
Под логическим умножением (связка и) понимают выражение следующего вида:
у = x1И х2 = х1 /\х2 = х1х2
Вообще же у = x1x2. ..xn = Πxi.
Выше отмечалось, что аксиомам правил для умножения отвечает зависимость при последовательном включении контактов.
Поэтому логическое умножение моделируется схемой последовательного включения элементов, т. е.
Под л о гически м сложением (связка или) понимают выражение вида
у = х1 или х2 = х1 V x2 = x1 + x2· Вообще же
Выше отмечалось, что аксиомам правил для сложения отвечает зависимость при параллельном включении контактов. Поэтому логическое сложение моделируется параллельным включением элементов, т. е.
Под л оги ч еc к и м отрицанием (связка не) понимают зависимость вида
у = НЕх = ¬х.
Вообще же у=¬x1¬x2... ¬хп или у=¬x1¬x2 + ... +¬хп Черточка над символом обозначает знак отрицания (инверсия).
Выше отмечалось, что обратному значению состояния цепи управления у и сигнала x отвечает цепь с размыкающим
контактом. Поэтому логическое отрицание моделируется цепью с размыкающими контактами.
Пример. Пусть требуется составить цепь управления электролампой у (рис. 10.1, а) от двух выключателей х1 х2. Условия включения лампы следующие: при включении х1 лампа должна загореться, пройдя коридор и воздействуя на х2, мы лампу выключаем, при обратном движении через кори-
Рис. 10.1. Управление электролампой
дор, воздействуя на х2, заставляем лампу опять загореться, а воздействуя на х1,— погаснуть. Изобразим состояния цепи управления лампой таблицей состояния
х1 |
х2 |
у |
х1 |
х2 |
у |
0 1 |
0 0 |
0 — не горит 1 — горит |
1 0 |
1 1 |
0 — не горит 1 — горит |
По таблице состояний теперь составим словесную модель цепи управления:
у — горит, если на х1 есть воздействие И на х2 нет воздействия;
у — горит, если на х1 нет воздействия И на х2 есть воздействие.
Изобразив нашу логическую фразу при помощи математических символов, мы будем иметь: у=х1¬ х2+ ¬х1 х2 — это есть математическая модель управления объектом.
Схемная модель согласно правилам математической логики будет иметь вид, показанный на рис. 10.1,б. Анализируя схему, мы видим, что условие задачи на управление лампой от двух выключателей выполнено. Заметим,
что между х1 верхним и х2 нижним имеется жесткая механическая связь (показано пунктиром), т. е. если х1 верхний замкнет цепь, то нижний разомкнет нижнюю цепь, и наоборот. Аналогично действует и х2.
10.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Рассмотрим основные законы преобразования математических уравнений логических операций, которые в основном почти полностью сходны с обычными математическими преобразованиями.
1. Закон перемещения:
х1х2 = х2х1,
х1+х2 =х2+х1
2. Закон сочетания:
х1(х2x3) =(х1х2)x3
х1+(х2+x3) = (х1+х2)+x3·
3. Закон распределения:
х1х2 + х1х3 = х1(х2 + х3) и, наоборот:
х1(х2 + х3)= х1х2 + х1х3
4. Закон повторения:
х1х1х1=х1
х1+х1+х1=х1
5. Закон нулевого множества:
x·0 = 0; х + 0 = х.
6. Закон универсального множества:
х·1=х;
x+1=1
7. Закон дополнительности:
х1¬х1 = 0;
х1+¬х1 = 1;
8. Закон двойной инверсии:
¬¬х = х.
9. Закон инверсии:
Общая черта над произведением или суммой обозначает отрицание полученного результата.
Например, 1∙1 = 1, а наоборот 0, т. е. 1 · 1 =0.
Следует отметить, что закон инверсии и двойной инверсии широко применяется при синтезе схем управления.
Анализируя уравнения закона инверсии, можно сказать, что логическое умножение можно заменить логическим сложением, применяя контакты обратного действия, т. е. ¬(х1∙х2) = ¬х1+¬х2.
Доказательство этого закона можно изобразить таблицами состояния:
10. Закон поглощения:
х1 (х1+х2) = х1
х1+х1х2+х1х3+...+х1хn= х1
11. Закон склеивания:
х1х2+х1¬х2= х1 х1+¬х1х2= х1+х2,
(х1+х2) (х1+¬х2) = х1, ¬х1 +х1х2 =¬х1+х2
Есть и более сложные законы.