7. Теорема о конечном значении оригинала y{t)

(1.9)

определяет состояние элементов и систем автоматики после затухания переходных процессов, вызванных внешним воздействием.

1.5. Передаточные функции элементов и систем автоматики

Будем полагать, что движение элементов, систем автоматики описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (а₀, а₁ ..., а_n; b₀, b₁, ..., b_m) пo входному (управляющему) воздействию g(t)

(1.10)

Запишем это уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях

(1.11)

Выполним преобразование уравнения (1.11):

(1.12)

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины и называется передаточной функцией системы (или элемента).

Знаменатель передаточной функции W(P), приравненный нулю, называется характеристическим уравнением системы или элемента автоматики D(P).

D(Ρ) = а₀Р^п + а₁Р^п-1 + . .. + а_п-1Р + а_п = 0. (1.13)

Рассмотрим передаточную функцию системы из n последовательно соединенных звеньев (рис. 1.2,а). Определим передаточные функции отдельных звеньев (элементов):

Перемножим передаточные функции звеньев

После сокращения получим выражение передаточной функции разомкнутой системы последовательно соединенных звеньев W(P)_раз.

(1.14)

как отношение изображения выходного сигнала Y(P) к изображению входного сигнала Х(Р) системы.

Пусть система состоит из n параллельно соединенных звеньев (рис. 1.2,б). Очевидно, что входной сигнал x(t) и его

Рис. 1.2. Структурные схемы автоматических систем

изображение X(Р) будет одинаковым для всех n-параллельно включенных звеньев. Выходные сигналы y₁(t); y₂(t); ...; y_n(t), а следовательно и их изображения будут различными, так как передаточные функции W₁(P); W₂(P); ...; W_n(P) зависят от параметров характеристик звеньев. По правилу сложения запишем y(t)—y₁(t)+y₂(t)+ ... + y_n(t), с учетом линейности изображений (1.5) справедливо также Y(P) = Y₁(Ρ) + ... + Υ_n(Ρ) или Y(P) = W_l(P)X(P) + W₂(P)X(P)+ ... + W_n(P)X(P). Разделим это выражение на Х(Р), получим

(1.15)

т. е. передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев представляет собой сумму передаточных функций отдельных звеньев.

Определим передаточные функции автоматической системы регулирования (АСР) в разомкнутом и замкнутом состоянии. На рис. 1.2, в показана АСР с разомкнутой отрицательной обратной связью. Передаточные функции: регулятора W (Р)_рег =

объекта

АСР в разомкнутом

состоянии

(1.16)

Замкнем регулятор и объект единичной отрицательной обратной связью, т. е. X(P) = G(P)-Υ(Ρ). Подставим это выражение в формулу (1.16)

После преобразования получим выражение передаточной функции АСР по каналу регулирующего воздействия W(Ρ)_зам в замкнутом состоянии

(1.17)

Нетрудно понять, что замкнутая система с единичной положительной обратной связью имеет передаточную функцию

(1.18)

1.6. Частотные передаточные функции и частотные характеристики

Если на вход линейного звена (рис. 1.3, а) подать синусоидальный сигнал x = A₁sinωt с круговой частотой ω и амплитудой А₁, то на выходе звена появятся установившиеся колебания y = A₂(ω)sin[(ω)t+φ(ω)] той же частоты, но другой амплитуды Α₂ и сдвинутые по фазе на угол φ(ω₁) (см. рис. 1.3, а).

Сдвиг фазы выходного сигнала φ(ω) = - (2πΔt/T), φ (ω)—называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ), а выраже-

ние A (ω) =A₂(ω)/A₁(ω) – называется амплитудно-частотной ха-

рактеристикой (АЧХ).

Значения частотных характеристик определяются по передаточным функциям с переходом от преобразования Лапласа

к преобразованию Фурье, заменой Ρ = jω, j = √-1 , ω =2π/T –

частота. Из рис. 1.3, a передаточная функция звена К(Р) = =Y(P)/X(P). Заменим Ρ = jω, получим выражение частотной передаточной функции звена

(1.19)

где U(ω)—вещественная и jV(ω)—мнимая часть частотной передаточной функции W(jω).

Графическая интерпретация частотной передаточной функции на комплексной плоскости в координатах U(ω) и jV(ω) представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), которая показана на рис. 1.3,б. Для построения АФЧХ необходимо вычислить U(ω) и jV(ω) при ω = 0; 0,01; 0,1; 1; 10; 100; ...; ∞. АФХЧ показывает, что с увеличением частоты входного сигнала линейных звеньев уменьшается амплитуда и возрастает сдвиг фазы выходного сигнала. АФЧХ дает

Рис. 1.3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматики

исчерпывающие характеристики фильтрующих и фазовых свойств того или иного элемента или системы автоматики. Из рис. 1.3,б нетрудно получить формулы отдельного вычисления АЧХ и ФЧХ·

(1.20) (1.21)

Для элементов автоматики с линейной статической характеристикой амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики представлены на рис. 1.3,в, г. Рис. 1.3 и формулы (1.20) и (1.21) характеризуют связь частотной передаточной функции W(jω) с амплитудной и фазовой частотной характеристикой

(1.22)

Определим частотные характеристики разомкнутой системы из цепи последовательно соединенных звеньев автоматики.

В формуле (1.14) заменим Ρ = jω, получим W(jω)_раз = = W₁ (jω)... W_n(jω), заменим W(jω)_раз выражением (1.22), находим

(1.23)

В разомкнутой системе из последовательно соединенных звеньев амплитуда (модуль) АФЧХ равна произведению модулей звеньев, а сдвиг фазы — сумме сдвигов фаз отдельных звеньев.

Частотные характеристики звеньев, систем дают возможность определить запасы устойчивости АСР по фазе и амплитуде, вычислить оптимальные настройки регуляторов и параметры корректирующих устройств АСР, а также решать другие задачи анализа и синтеза систем автоматики.