83. Інтервали довіри для середнього квадратичного відхилення нормального розподілу

Нехай ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Знайдемо надійні межі для середнього квадратичного відхилення σ з заданою надійністю γ . Оскільки точковою оцінкою для параметра σ є підправлене середнє квадратичне відхилення s, то для цього потрібно розв’язати рівняння: P{|σ − s |<δ } =γ ⇔ P{s −δ <σ < s +δ } =γ .

Перетворимо подвійну нерівність s −δ <σ < s +δ

⇔ s(1-q)< <s(1+q) , де q= . Залишається знайти q. З цією метою розглянемо випадкову величину , де п – обсяг вибірки. Відомо, що випадкова величина (n −1) s² /σ² розподілена за законом χ² з n −1 ступенями вільності, тому

квадратний корінь з неї позначають через χ. Щільність розподілу χ має вигляд

, де A_n – деяка стала. Цей розподіл не залежить від оцінюваного параметра σ , а залежить лише від обсягу вибірки n. Перетворимо нерівність

⇔ s(1-q)< <s(1+q) , де q= до вигляду

χ₁ < χ < χ₂ . Ймовірність цієї нерівності дорівнює заданій імовірності γ , тобто

.

Припускаючи, що q <1, перепишемо нерівність

⇔ s(1-q)< <s(1+q) , де q= так:

, або .

Отже,

,

де χ ₁ = /(1+ q), χ ₂= /(1− q). З цього рівняння можна за заданими n і γ (за допомогою таблиці q = q(γ ,n)) знайти q. Обчисливши за вибіркою s і знайшовши за таблицею q, отримаємо шуканий інтервал довіри ⇔ s(1-q)< <s(1+q) , де q= , який покриває параметр σ з заданою надійністю γ . Якщо q >1, то нерівність ⇔ s(1-q)< <s(1+q) , де q= набуде вигляду 0 < σ < s(1+ q). У цьому випадку q також шукають за таблицею значень q = q(γ ,n).

84. Формула для вибіркового коефіцієнта кореляції.

85. Формули для α , β у вибірковому рівнянні прямої регресії Y на X.

86. Формула для критерію згоди к.Пірсона.

K=χ²=∑_i=1 ^m (n_i - n_i`)<sup>2</sup> /n<sub>i</sub>`., де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; n_i– емпірична частота ознаки Х в і-тій групі; n_i`=np_i – теоретична частота; р_i- ымовырнысть того, що значення Х належить і-тій групі.

87. Знаходження теоретичних частот для інтервального статистичного розподілу. n_i`= nр_i

88. Правило перевірки гіпотези про закон розподілу з використанням критерію згоди К.Пірсона. Згідно з критерієм Пірсона для перевірки гіпотези вводиться випадкова величина (статистика) К: К= = , де m-кількість груп у статистичному розподілі вибірки; -емпірична частота ознаки Х в і-тій групі; =n - теоретична частота; - імовірність того що значення Х належить і-тій групі.Розглядають правосторонню критичну область. Критичну точку шукають за таблицею «табл..критичних точок » ( . Якщо < , то -приймаємо, в протилежному відхиляємо. Для застосування критерію згоди Пірсона мають виконуватися умови:1)n 50; 2) 5

89. Статистичний критерій для перевірки гіпотези а=а₀ для генерального середнього у випадку відомої дисперсії нормальної генеральної сукупності.

U=((xˉ-a₀)√n)/ σ.

90. Перевірка гіпотези a=a0 для генерального середнього у випадку відомої дисперсії нормальної генеральної сукупності (випадок альтернативної гіпотези H : a ≠ a ).

-обчислюємо емпіричне значеня критерію за формулою:

-знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення , використовуючи рівняння:

-робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо < ,то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо на користь альтернативи

91. Перевірка гіпотези a=a0 для генерального середнього у випадку відомої дисперсії нормальної

генеральної сукупності (випадок альтернативної гіпотези H : a > a ).

обчислюємо емпіричне значеня критерію за формулою: Розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення: . Тоді ; тобто . Якщо < то гіпотезу приймаємо ; якщо то відхиляємо на користь альтернативи

92. Перевірка гіпотези a=a0 для генерального середнього у випадку відомої дисперсії нормальної генеральної сукупності (випадок альтернативної гіпотези H : a < a ).

обчислюємо емпіричне значеня критерію за формулою:

Розглядають лівосторонню критичну область, для якої . Якщо > то гіпотезу приймаємо ; якщо то відхиляємо на користь альтернативи

93. Статистичний критерій для перевірки гіпотези а=а₀ для генерального середнього у випадку невідомої дисперсії нормальної генеральної сукупності.

T=((xˉ-a₀)√n)/ s.

94. Перевірка гіпотези a=a0 для генерального середнього у випадку невідомої дисперсії нормальної генеральної сукупності.

(Замість беруть s )

У даному випадку використовуємо статистику , де -вибіркове середнє, а s-підправлене середнє квадратичне відхилення. Можна показати, що за умови істинності гіпотези випадкова величина Т має розподіл Ст’юдента з k=n-1ступенями вільності.

95. Статистичний критерій для перевірки гіпотези σ=σ₀² дисперсії нормальної генеральної сукупності.

χ²=(n-1)s²/ σ₀².

96. Перевірка гіпотези σ2=σ0 для дисперсії нормальної генеральної сукупності (випадок альтернативної гіпотези

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення: .

Для перевірки гіпотези обчислюють емпіричне значення критерію: , і за таблицею критичних точок розподілу за даним рівнем значущості α і кількістю ступенів вільності k=n-1 знаходять критичну точку . Якщо , гіпотезу приймають; якщо , то гіпотезу відхиляють і приймають гіпотезу

97. Перевірка гіпотези σ2=σ0 для дисперсії нормальної генеральної сукупності (випадок

альтернативної гіпотези

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд , то розглядають двосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення: , тобто

Якщо , гіпотезу приймають; якщо

то гіпотезу відхиляють і приймають гіпотезу

98. Перевірка гіпотези σ2=σ0 для дисперсії нормальної генеральної сукупності (випадок

альтернативної гіпотези

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд , то розглядають лівосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення: , тоді : . Тому за допомогою таблиці критичних точок розподілу за заданими α і k=n-1 знаходять . Якщо , гіпотезу приймають; якщо , то гіпотезу відхиляють і приймають гіпотезу