Обобщенные координаты точка уравнения Лагранжа второго рода.

Обобщенными координатам называются независимые между собой параметры любой размерности число которых равно числу степеней свободы которые однозначно определяют положение системы . формула 20.4.1

Первой производной обобщенной координат называют Обобщенной скорости 20.4.2

Вторые производные по времени от обобщенных координат называют Обобщенным ускорением 20.4.3

Посколюку положение всей системы определяются обобщенными координатами а положение каждой точки определяется ее радиус вектор то радиус вектор катой можно выразить через обобщенные координаты формула 21.

Для того чтобы определить обобщенную силу запишем работу всех обобщенных сил формула 21.2 Найдем вариацию радиуса вектора учитывая 21.1 будет формула 21.3

Теперь подстввим 21.3. в 21.2 и поменяем порядок суммирования и получим формула 21.3.2 формулу 21.4

Введя обозначения последнее равенство примет вид формула 21.5

Коофицент Qj при вариации обобщенной координаты выражение и доработка всех активных сил называется обобщенной силой соответствующей обобщенной координате qj.

Чтобы найти обобщенную силу Q1 придают систему такое возможное перемещение при котором вариации всех возможных координат кроме дельта q1 равны =0 и вычисляют на этом возможном перемещении суммарную работу всех активных сил. Коофицент получивший при дельта q1 и будет обобщенная сила Q1 соответствующая обобщенной координате q1 .

Рассмотрим равновесие системы в обобщенных координат согласно принципу возможных перемещений при авновесии системы должно выполнятся равенство формула 21.5.1. Данное равенство при любых дельта q1 j данное равенство будет выполнятся если формула 21.6

Если все силы в системе потенциальны то для системы можно ввести потенциальную энергию котороая будет функция ей только для обобщенной координат. Формула 21.6.1 тогда обобщенные силы можно найти следующим образом формула 21.7 Если система находится в равновесии согласно 21.6 формула 21.7.1 это значит что полный деференциал равен 0 формула 21.8

Это ознаает что положение равновесия потенциальной энергии консервативной системы принемает экстримальные значения min или max . Теорема Лагранжа Дирихле положение равновесия консервативной системы будет устойчиво если потенциальная энергия в данном положении имеет строгий минимум.

Уравнение логранжа второго рода формула 21.9 если все силы в системе потенциальны то уравнение лагранжа примет вид формула 21.10 где L = Т-П где L – функция Лагранжа