19. Методика формування поняття площі та її вимірювання у молодших школярів

У початкових класах розглядаються величини: довжина, площа, маса, ємність, час та ін Учні повинні отримати конкретні уявлення про ці величини, ознайомитися з одиницями їх вимірювання, оволодіти вміннями вимірювати величини, навчитися виражати результати вимірювання в різних одиницях, виконувати арифметичні дії над величинами.

Вивчення величин має велике значення, так як поняття величини є найважливішим поняттям математики. Кожна досліджувана величина - це деякий узагальнене властивість реальних об'єктів навколишнього світу. Вправи у вимірах розвивають просторові уявлення, озброюють учнів важливими практичними навичками, які широко застосовуються в житті. Отже, вивчення величин - це один із засобів зв'язку навчання з життям.

Величини розглядаються в тісному зв'язку з вивченням натуральних чисел і дробів: навчання виміру зв'язується з навчанням рахунку; нові одиниці вимірювання вводяться слідом за введенням відповідних лічильних одиниць; арифметичні дії виконуються над натуральними числами і над величинами. Вимірювальні та графічні роботи як наочний засіб використовуються при вирішенні завдань. Таким чином, вивчення величин сприяє засвоєнню багатьох питань курсу математики.

Перш за все площа виділяється як властивість плоских предметів серед інших їх властивостей. Вже дошкільнята порівнюють предмети за площею (не називаючи саме слово «площа») і правильно встановлюють відношення «більше», «менше», «дорівнює» («однаково»), якщо порівнювані предмети дуже різко відрізняються один від одного або зовсім однакові. При цьому діти користуються накладенням предметів чи порівнюють їх на-віч, зіставляючи предмети за певному місці на столі, на землі, на аркуші паперу і т. п. Наприклад, лист берези менше, ніж аркуш клена, каток у школи більше, ніж у нашого будинку , всі млинці однакові - не більше і не менше і т. п. Однак, порівнюючи предмети, у яких форма різна, а відмінність площ не дуже чітко виражено, діти відчувають труднощі. У цьому випадку вони замінюють порівняння за площею порівнянням по довжині або по ширині предметів, тобто переходять на лінійну протяжність, особливо в тих випадках, коли по одному з вимірів предмети сильно відрізняються один від одного.

У процесі вивчення геометричного матеріалу спочатку у дітей уточнюються уявлення про площу як про властивість плоских геометричних фігур. Більш чітким стає розуміння того, що фігури можуть бути різними і однаковими за площею. Цьому сприяють вправи на вирізування фігур з паперу, креслення і розфарбовування їх у зошитах і т. п. У процесі вирішення завдань з геометричним змістом (наприклад, складання фігур із заданих частин, виокремлення різних фігур на складному кресленні і т. п.) учні знайомляться з деякими властивостями площі. Вони переконуються, що площа не змінюється при зміні положення фігури на площині (фігура не стає ні більше, ні менше). Діти багато разів спостерігають співвідношення між всією фігурою і її частинами (частина менше цілого), вправляються в складанні різних за формою фігур з одних і тих же заданих частин (тобто побудові равносоставленних фігур). Учні поступово накопичують уявлення про розподіл фігур на нерівні і рівні частини, порівнюючи накладенням отримані частини.

Ознайомлення з площею можна провести так:

«Подивіться на фігури, прикріплені до дошки (мал. 62), і скажіть, яка з них займає більше всіх місця на дошці (квадрат АМКЕ займає місця більше всіх фігур). У цьому випадку говорять, що площа квадрата більше, ніж площа кожного трикутника і квадрата СОМВ. Порівняйте площу трикутника ЛВС і квадрата АМКй (площа трикутника менше, ніж площа квадрата). Подивіться, я порівняю ці фігури накладанням - трикутник займає тільки частина квадрата, значить, дійсно площа його менше площі квадрата. Порівняйте-на-віч площа трикутника ЛВС і площа трикутника БОЮ (у них площі однакові, вони займають однакове місце на дошці, хоча розташовані по-різному). Перевірте накладенням ».

Аналогічно порівнюються за площею інші фігури, а також предмети навколишнього оточення.

Однак не завжди так легко встановити, яка з двох фігур має більшу (меншу) площу або вони однакові за площею. Щоб показати це учням, можна запропонувати їм порівняти вирізані з паперу прямокутник і квадрат, Юя значно відрізняються за площею, наприклад: розміри квадрата 4 × 4 дм, а прямокутника 5 × 3 дм, при цьому фігури із зворотного боку розбиті на квадратні дециметри. 1см 3 см

Спочатку учні намагаються порівняти ці фігури на-віч, а тик же шляхом накладення. Однак обидва способи не допомагають дітям вирішити питання переконливо. Вислухавши різні припущення, вчитель повертає фігури тією стороною, на якій зроблено розбивка на квадрати, і пропонує порахувати, скільки однакових квадратів містить кожна фігура. На цій основі діти встановлюють, площа якої фігури більше, I який - менше. Аналогічні вправи на порівняння площі фігур, складених з однакових квадратів 1, виконуються за підручником, а також за кресленнями, даним на дошці. Діти переконуються в тому, що якщо фігури складаються з однакових квадратів, то площа тієї фігури більше (менше), яка містить більше (менше) квадратів. Корисно на цьому ж уроці розглянути такий випадок, коли різні за формою фігури мають однакову площу, тому що містять однакове число квадратів (наприклад, квадрат-16 кв. Од. І прямокутник-16 кв. Од.). На наступних уроках включаються вправи на підрахунок квадратів, що містяться в заданих фігурах, пропонується накреслити в зошитах фігури, які складаються з певної кількості квадратів (клітинок зошити). У процесі таких вправ починає формуватися поняття про площу як про число квадратних одиниць, що містяться в геометричній фігурі.

На наступному етапі учнів знайомлять з першої одиницею площі - квадратним сантиметром. Учні креслять у зошитах, вирізають з паперу в клітинку квадрати зі стороною 1 см. Учитель повідомляє: «Це одиниця площі - квадратний сантиметр».

Використовуючи паперові моделі квадратного сантиметра, діти складають з них різні геометричні фігури і знаходять підрахунком їх площа (рис. 63). Порівнюючи площі складених фігур, діти ще раз переконуються, що площа тієї фігури більше (менше), яка містить більше (менше) квадратних сантиметрів. Площі фігур, що містять однакове число квадратних сантиметрів, рівні, хоча фігури можуть не поєднуватися при накладенні. Ефективний на цьому етапі прийом зіставлення знайомих дітям величин-довжини відрізка і площі фігури, який допомагає попередити зсув цих величин. Виконуючи конкретні вправи, виявляють деяку схожість і істотна відмінність цих величин: сантиметр - одиниця довжини; квадратний сантиметр-одиниця площі; довжина відрізка - число сантиметрів, які містяться в даному відрізку; площа фігури - кількість квадратних сантиметрів, що містяться в цій фігурі.

Надалі наочне уявлення про квадратному сантиметрі і поняття про площу фігур закріплюються. Включаються вправи на знаходження площі фігур, розбитих на квадратні сантиметри. Пропонується при підрахунку квадратних сантиметрів групувати їх по рядах або стовпцях, щоб прискорити знаходження їх загального числа. Розглядаються і такі постаті, які поряд з цілими квадратними сантиметрами містять і нецілі - половини, а також частки більше або менше, ніж половина квадратного сантиметра.

Слід також ознайомити учнів з перебуванням наближеною площі фігури таким способом: порахувати всі нецілі квадратні сантиметри і загальне число їх розділити на два, потім отримане число скласти з числом цілих квадратних сантиметрів, які містяться в даній фігурі.

Для знаходження площі геометричних фігур, не розділених на квадратні сантиметри, використовують палетку. Палетка-це прозора пластинка, розбита на рівні квадрати. Сітка може бути нанесена на кальку або складатися з ниток, натягнутих на рамку. На даному етапі використовують палетку, кожний розподіл якої дорівнює квадратному сантиметру. Корисно таку палетку виготовити з дітьми на уроці праці (рис. 66). Наклавши палетку па геометричну фігуру, підраховують число цілих і нецілих квадратних сантиметрів, які в ній містяться. Для знаходження площі фігур, накреслених в зошитах, як палетки використовують разлиновку зошитів. Кожен раз підкреслюють, що знайдена площа дорівнює приблизно такого-то числа (близько 20 кв. См, приблизно 15 кв. См).

У цей же час приступають до зіставлення площі і периметра багатокутників з тим, щоб діти не змішували ці поняття, а в подальшому чітко розрізняли способи знаходження площі і периметра прямокутника. Виконуючи, практичні вправи з геометричними фігурами, діти підраховують кількість квадратних сантиметрів і тут же вимірюють периметр багатокутника в сантиметрах.

На наступному етапі учні знайомляться з прийомом обчислення площі прямокутника (квадрата). Спочатку розглядають прямокутники, які вже розділені на квадратні сантиметри. Їх площа знаходять шляхом підрахунку квадратних сантиметрів в одному ряду, а потім отримане число множать на число рядів. Наприклад, якщо в одному ряду 6 кв. см, а таких рядів 5, то площа дорівнює 6-5, тобто 30 кв. см. Дуже важливо при цьому встановити відповідність між довжиною прямокутника і числом квадратних сантиметрів, прилеглих до довжини; шириною прямокутника і числом рядів. Наприклад, якщо в ряду 6 кв. см, то довжина прямокутника 6 см, а якщо рядів 5, то ширина прямокутника 5 см.

Потім діти креслять прямокутник по заданих довжинах сторін, розбивають його на ряди, а один ряд на квадрати і знову переконуються у відповідності: якщо довжина 4 см, то в одному ряду, прилеглому до цієї сторони, міститься 4 кв. см, якщо ширина 3 см, то таких рядів виявляється 3. Число квадратних сантиметрів дорівнює добутку чисел 4 і 3 (рис. 67). Робиться висновок: щоб обчислити площу прямокутника, потрібно знати його довжину і ширину (в однакових одиницях) і знайти добуток цих чисел.

Порівнявши різні способи знаходження площі, діти самі можуть вирішити питання, що легше: виміряти довжину і ширину

прямокутника і отримані числа перемножити або розбити прямокутник на квадратні сантиметри і порахувати їх.

Далі включаються усні і письмові завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і периметрів цих фігур. Дуже корисні вправи в обчисленні площі і периметра фігур, складених з декількох прямокутників (рис. 68). Тут учням доводиться обчислювати площі кожного прямокутника, а потім знаходити їх суму, тобто площа заданої фігури.

У процесі вирішення завдань на обчислення площі та периметра прямокутників слід показати, що фігури, які мають однакову площу, можуть мати неоднакові периметри, і що фігури, що мають однакові периметри, можуть мати неоднакові площі. Наприклад, це легко спостерігати при заповненні таблиці види: Довжина 7 см 6 см 5 см 4 см

Ширина 1 см 2 см 3 см 4 см

Периметр 16 см 16 см 16 см 16 см

Площа 7 кв. см 12 кв. см 15 кв. см 16 кв. см

По таблиці учні креслять прямокутники зазначених розмірів, обчислюють площу та периметр і записують їх у таблицю. Наочні ілюстрації допомагають дітям усвідомити спостережувані співвідношення. Легко помітити, що найбільшу площу при однаковому периметрі мають прямокутники з рівними сторонами (квадрати). Аналогічну роботу можна провести зі спостереження зміни периметра в залежності від зміни довжини сторін при однаковій площі (наприклад, прямокутники зі сторонами 12 см і 2 см, 8 см і 3 см, 6 см і 4 см).

Далі учні знайомляться з квадратним дециметром. Як і при введенні квадратного сантиметра, перш за все формується наочний образ нової одиниці: діти креслять на картатій папері квадрат зі стороною 1 дм і потім вирізають його, складають фігури з декількох квадратних дециметрів, називаючи їх площа і периметр. Встановлюється відношення між квадратним дециметром і квадратним сантиметром. Учні самі обчислюють площу квадрата зі стороною 1 дм в квадратних сантиметрах і записують: 1 кв. дм = 100 кв.см. Потім діти вчаться заміняти дрібні одиниці великими і навпаки. Вирішуються завдання на обчислення площі прямокутників (квадратів) і фігур, складених з прямокутників, сторони яких задані в дециметрах або в дециметрах і сантиметрах.

На наступному етапі аналогічно розглядається квадратний метр. Особлива увага звертається на рішення практичних завдань: вимірювання і обчислення площі підлоги в класі, коридорі, кімнаті, порівняння площ приміщень, що мають однакову, покладемо, ширину і різну довжину.

Поряд з вирішенням завдань на знаходження площі прямокутника за даними довжині і ширині вирішують зворотні задачі на знаходження однієї із сторін за відомою площі і іншій стороні прямокутника. Площа - це добуток чисел, отриманих при вимірюванні довжини і ширини прямокутника, значить, знаходження однієї з сторін прямокутника зводиться до знаходження одного з множників за твором і іншому множнику. Крім простих завдань, вирішуються і складові завдання, в яких поряд з площею включається периметр, наприклад: «Город має форму квадрата, периметр якого 320 м. Чому дорівнює площа городу?»

Вивчення площі геометричних фігур триває у старших класах.