6. Час, його властивості та вимірювання. Стандартні одиниці часу.
Поняття «час» більш складне ніж поняття довжини і маси. Час – це те що відділяє одну подію від іншої.
Час розглядають, як скалярну величину, тому що проміжки часу мають властивості подібні до властивостей маси і довжини:
проміжки часу можна порівнювати;
їх можна додавати, віднімати, множити на додатнє число.
Проміжки часу вимірюють.
Час – за одиницю може використовуватися лише один раз.
Тому одиниці часу повинні мати регулярно повторний час. Такою одиницею є секунда.
До одиниць часу відносять: година, хвилина, доба, місяць, рік століття.
5 років 7 місяців 8 днів + 3 роки 2 місяці 4 днів = 8 років 9 місяців 12 днів.
9 тижнів 21 год. 52 хвилин + 1 тиждень 23 годин 44 хвилин = 10 тижнів 2 доби 1 год. 36 хв.
9. Числові вирази та їх значення. Числові рівності та нерівності, їхні властивості.
Розглянемо задачу:
200 л молока розлили у бідони. В один бідон налили 32 л молока розлили порівну в 6 однакових бідонів. Скільки молока в одному такому бідоні?
(200-32):6
Такий запис називається числовим виразом. Він сконструйований з чисел, знаків арифметичних дій, дужок.
Вважають, що кожне число є також числовим виразом (5+6; 10-7; (625-125):2.)
Число, яке отримали в результаті послідовного виконання дій, вказаних виразів, називають значенням числового виразу. (2*7+14=28. Значення є 28)
Якщо вираз складається з одного числа, то числове значення його буде те саме число.
Вирази , 16: (4-4) – не мають числового значення в множині дійсних чисел, оскільки під знаком не може бути від’ємне число; і на 0 : в другому виразі. Про такі вирази кажуть, що вони не мають змісту. Немає змісту на множині натуральних чисел вираз 7-9.
Два числові вирази, з’єднані знаком «=» називається числовою рівністю.
Нехай а і в – два числові вирази. Тоді рівності а = в – це числова рівність.
числова рівність
14 : 2 = 5+2
числові вирази
Числові рівності бувають правильні (14:2=5+2) і неправильні (18:3==6+3).
Якщо значення числових виразів у лівій і правій частині числової рівності співпадають, то отримають правильну числову рівність.
Два числові вирази, з’єднані знаком «більше», «менше», називають числовою нерівністю.
Числові нерівності є правильні (2:2+6<10) і неправильні (6-4>5).
Числові рівності або нерівності не мають змісту, якщо в одній із його частин є вирази, в яких міститься операція ділення на 0:
5: (10:2-5)=14+6
5: (6-2*3) < 7-1
Властивості числових рівностей:
Якщо до обох частин правильної числової рівності а=в додати один і той самий числовий вираз с, що має зміст, то отримаємо правильну числову рівність :
а=в а+с=в+с.
Якщо обидві частини правильної числової рівності а=в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має зміст, то отримаємо правильну числову рівність :
а=в а*с=в*с.
Властивості числових нерівностей:
Якщо до обох частин правильної числової нерівності а>в додати один і той самий числовий вираз с, що має зміст, то отримаємо правильну числову нерівність :
а>в а+с>в+с.
Якщо обидві частини правильної числової нерівності а>в помножити на один і той самий додатній числовий вираз с, що має зміст, то отримаємо правильну числову нерівність :
а>в а*с>в*с.
Якщо обидві частини правильної числової нерівності а>в помножити на один і той самий від’ємний числовий вираз с і поміняти при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну числову нерівність :
а>в а*с<в*с.
10.Рівність двох тотожно рівних виразів називають тотожністю. Тотожними вважають і правильні числові рівності. Тотожними є всі закони додавання і множення дійсних чисел, правила віднімання числа від суми і суми від числа.
а● 0=0●а
а+0=0+а=а
а●1=1●а=а
а:а=1
а:1=а
Тотожне перетворення числового виразу – це заміна одного виразу іншим, без зміни його значення.
Означення: два вирази називають тотожно, якщо при будь яких значеннях змінних з області визначення виразів їх відповідні значення рівні
Процес перетворення виразів відбувається під час виконання вправ:
Заміна числа сумою двох доданків :7=2+5
Заміна числа розрядними доданками :235=200+30+5
Перетворення виразу на основі означення дії множення :4+4+4=4●3=12
Обчислення у вигляді ланцюжка :7+8=(7+3)+5=10+5=15
Ілюстрування правил чи властивостей арифметичних дій :(20-4)●3=20●3-4●3=60-12=48
11) Рівняння з однією змінною. Множина розв’язків рівняння,корінь рівняння. Рівносильність рівнянь. Теореми про рівносильність нерівностей.
Розглянемо два вирази із змінною 4х-1 і 2х+3 з’єднаємо їх знаком рівності і отримаємо рівняння 4х-2х+3.
Означення: Нехай f(х) і g(х) два вирази із змінною х, областю визначення х
Висловлювання форма f(х) = g(х) називають рівняння з однією змінною. Значення змінної «х», яке перетворює рівняння в правильну числову рівність називають коренем рівняння з однією змінною. Розв’язання рівняння означає знайти множину його корення.
Означення: Два рівняння f1(х) і=g1(х) і f2(х) = g2(х) називають рівносильними, якщо множини їх коренів співпадають.
Теорема: Нехай рівняння f(х) = g(х) задано на множину х і h(х)- вираз який визначає на цій же множині 1)f(х) = g(х) 2) f(х) +h(х)= g(х)+h(х)
Доведення: Нехай Т1 множина коренів рівняння 1, а Т2 множина коренів рівняння2. 1і2 будуть рівносильними тоді коли Т1=Т2. Для цього покажемо, що будь-який корінь рівняння 1 і навпаки. Нехай а-корінь рівняння 1, тобто ..а.. належить Т1 і вираз f(х) і g(х) правильна числова рівність, h(a)- числовий вира. Додамо до обох частин рівності f(а) і g(а)-h(a) отримаємо f(a)+h(a)=g(a)+h(a), який згідно властивостей числових рівностей правильний. Отже ..а..-є корінь 2, .. а.. належить Т2. Отже будь-який корінь рівняння 1 є коренем рівняння. Отже Т1входить в Т2.
Нехай в- корінь рівняння 2 тобто належить Т2, f(в)+h(в)=g(в)+h(в)-правильна числова рівність, h(в) числовий вираз. Додамо до обох частин останньої рівності числовий вираз h(в) і отримаємо h(в)=g(в)- правильна числова рівність, це означає, що х=в – корінем рівняння 1 тобто ..в.. належить Т1 звідси Т2 входить в Т2.
Оскільки Т1 входить Т2 а Т2сТ1
Отже рівняння є рівносильні, що і треба було довести.
Наслідок: якщо до обох частин рівняння додати одне і теж число, то отримаємо рівняння рівносильне даного.
Наслідок2 – якщо який не-будь доданок, числовий вираз чи вираз із змінною перенести з однієї частини рівняння в іншу, замінивши при цьому знак додавання на протилежний то отримаємо рівняння рівноправне даному.
Теорема2: нехай рівняння f(x)=g(x) задана на множині ..х..і h(x) – вираз, який визначений на цій же множені такий, що не перетворюється в ..о.. ні при яких значеннях х що належить х. тьоді рівняння f(x)=g(x) і f(x)=g(x) рівносильні.
Наслідок: якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те ж число відмін від нуля то отримаємо рівняння рівносильне данному.
1-
=
;
хєR
1)Зведемо вирази, які стають в лівій і правовій частині до спільного значення.
=
2)помножимо обидві частини рівняння на 6
6-2х=х
3)Вираз -2х перенесемо в праву частину.
6х=3х+2х
4) Зведемо подібні доданки в правій частині рівняння
6=3х
5)Поділимо обидві частини рівняння на 3
Х=2
Отже множина розв’язків даного рівняння є одне число 2.
Виконали тотожні перетворення отримали рівняння рівносильне даному.
Використали наслідок з теореми два, про рівносильність рівнянь отримали рівняння рівносильне попередньому.
Виконали тотожні перетворення отримали рівняння рівносильне попередньому.
Скористалися наслідком з теореми 2. Отримали рівняння рівносильне попередньому, а значить і даному
12.Розглянемо два вирази зі зміною
4х-1 і 2х+3
З’єднаємо їх знаком рівності ,отримаємо рівняння:
4х-1=12х+3
Означення: Нехай k(х) і d (х) два вирази із зміною х і областю визначення х.
Висловлювана форма f(х)=d (х) називається рівнянням з однією зміною.
Значення зміною х, яке перетворює рівняння правильну числову рівність ,називаються коренем рівняння з однією зміною .
Розвязати рівняння,означає знайти множину його кореня.