1.6. Уравнение движения сплошной среды

В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки:

,

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию объемных и поверхностных сил:

_(1.13)

Первый член левой части этого уравнения представляет собой отнесенное к единичному объему изменение количества движения в этом объеме за единицу времени, второй член - отнесенное к единичному объему изменение количества движения за счет конвекции в этом объеме за единицу времени.

Первый член правой части есть отнесенная к единице объема массовая сила, второй член – отнесенные к единице объема поверхностные силы.

Используя уравнение неразрывности получаем следующее:

(1.14)

Для ньютоновских жидкостей напряжение на некоторой площадке пропорционально скорости деформации сплошной среды (жидкости). При этом связь между давлением, скоростью деформации и компонентами тензора напряжений имеет вид:

(1.15)

где δ_i,j – символ Кронекера (δ_i,j = 1, если i=j, и δ_i,j = 0, если i≠j), u₁, u₂, u₃ – компоненты вектора скорости , x₁, x₂, x₃ –координаты радиус-вектора точки, μ – коэффициент динамической вязкости, μ’ – второй коэффициент вязкости, связанный с объемной вязкостью .

Обычно объемной вязкостью пренебрегаю (кроме случаев рассмотрения распространения ударных, акустических волн), тогда выражение для тензора напряжений можно записать в виде:

(1.16)

Тензор напряжений разделяют на две части:

, (1.17)

где первое слагаемой в правой части – компоненты нормальных напряжений, а второе – касательных или вязких:

(1.18)

Течение несжимаемой вязкой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости описывается следующим уравнением:

. (1.19)

Или

(1.20)

В проекции на декартову систему координат имеем три скалярных уравнения:

(1.21)

Выделив в уравнениях компоненты тензора вязких напряжений, получим:

(1.22)

где компоненты тензора имеют вид:

(1.23)

Применение первого закона термодинамики к жидкости, протекающей через бесконечно малый объем приводит к следующему уравнению энергии:

, (1.24)

где E_t – полная энергия единицы объема.

Первый член в левой части уравнения есть изменение полной энергии контрольного объема в единицу времени, второй – изменение полной энергии за счет конвекции через поверхность, ограничивающую контрольный объем, в единицу времени. Первый член в правой части – скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема; второй член – теплопотери за счет теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени; третий член – отнесенная к единице объема работа массовых сил над контрольным объемом; четвертый член – отнесенная к единице объема работа поверхностных сил над контрольным объемом.

Последние два слагаемых правой части можно заменить диссипативной функцией Ф, являющейся тепловым эквивалентом механической мощности, затрачиваемой на вязкую деформацию жидкости.

(1.25)

В декартовой системе координат диссипативная функция принимает вид:

(1.26)

Введем величину энтальпии и получим:

(1.27)

Используя закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности:

, (1.28)

получаем:

(1.29)

Таким образом полную термодинамическую систему массообмена в газе составляют три уравнения: неразрывности, Навье-Стокса и энергии.