2. Упорядоченное движение частиц грубодисперсных аэрозолей (метод траекторий)

Поведение газодисперсных систем во многом определяется динамикой движения одиночных частиц, которая, в свою очередь, существенно зависит от их размеров. Относительно крупные частицы ( > 20 мкм) слабо реагируют на турбулентные пульсации несущего газа и уравнение их движения аналогично уравнению движения отдельно взятой частицы в вязкой ламинарной среде :

(2.1)

где - сила аэродинамического взаимодействия, - равнодействующая сторонних (внешних) сил, действующих на частицу. К ним относятся сила тяжести, электрические, магнитные и другие силы. Взаимодействие частиц с потоком газа носит очень сложный характер , однако, в большинстве практически важных случаев с достаточной для инженерной практики точностью его можно свести к силе сопротивления среды, которая для сферических частиц имеет вид :

(2.2)

- коэффициент аэродинамического сопротивления шара; S_м – площадь миделевого сечения частицы; - плотность газа; U,V - векторы скорости частицы и газа. Ф – динамический коэффициент формы частицы.

Форма частицы	Динамический коэффициент, Ф
Сферическая	1
Округлая	1.83
Угловатая	2.48
Продолговатая	3.18
Пластинчатая	6.5

Величина коэффициента аэродинамического сопротивления шара существенно зависит от режима его обтекания, который характеризуется числом Рейнольдса:

(2.3)

В следующей таблице приведены выражения для коэффициента в различных диапазонах чисел Рейнольдса.

	Область применения	Автор
	Re <0.2	Стокс
	Re <1	Озеен
	1<Re<103	Клячко

Если сила, действующая со стороны воздуха на частицу, выражается формулой Стокса

(2.4)

то уравнение движения частицы может быть записано так:

(2.5)

где - время релаксации частицы.

Для частиц размером 10 мкм силу аэродинамического взаимодействия необходимо вычислять по формуле Клячко. При этом уравнение движения примет вид:

(2.6)

где

Пример. Рассмотрим задачу о падении сферической частицы в неподвижном воздухе.

Проектируя уравнение движения частицы на направление силы тяжести, получим линейное уравнение первого порядка:

(2.7)

решение которого при начальном условии имеет вид:

(2.8)

Из последней формулы следует, что скорость частицы асимптотически приближается к постоянной величине: , называемой седиментационной скоростью.

Практически седиментационная скорость достигается очень быстро. Так, за время величина скорости частицы v достигает значения . Найдем область применимости формулы .

Из условия стоксовского режима обтекания Re < 0.2 получим:

(2.9)

Для пылей строительных материалов с плотностью формула справедлива для частиц размером мкм.

Седиментационная скорость более крупных частиц должна определяться с помощью уравнения 2.6.

Проектируя это уравнение на направление силы тяжести, получим:

(2.10)

Данное уравнение может быть решено только численно с помощью ЭВМ.

Если не интересоваться динамикой установления скорости оседания частицы, а определять только ее величину, то вместо дифференциального уравнения можно рассмотреть алгебраическое уравнение, которое получается из 2.45, если положить в нем

(2.11)

Уравнение 2.10 может быть решено одним из численных методов.

В пристенных областях, где имеют место значительные градиенты скорости газа, необходимо учитывать турбулентные пульсации скорости несущей среды, приводящие к возникновению специфических форм движения частиц - их подъемный и турбулентной миграции.

Причиной этих движений являются сила Магнуса

, (2.12)

связанная с собственным вращением частиц с угловой скоростью , возникающим в результате соударений частиц с твердыми поверхностями, а также сила Сафмена

, (2.13)

связанная с вращением частиц из-за градиента скорости газа в сдвиговых потоках.

Коэффициент аэродинамического сопротивления, как известно, является функцией числа Рейнольдса. В стоксовской области ( ) будем использовать зависимость:

а для переходного режима обтекания ограничимся уточненным вариантом эмпирической формулы Клячко:

(2.14)

которая с удовлетворительной точностью также охватывает и стоксовскую область. Здесь .

Уравнение движения для частиц несферической формы можно переписать в виде:

(2.15)

Траектории движения частиц аэрозоля можно найти путем численного интегрирования уравнений движения (2.15) совместно с уравнениями

(2.16)

с учетом начальных условий:

(2.17)

Предварительно уравнения и начальные условия приводят к безразмерному виду, используя в качестве масштабов характерные для данного процесса размер l и скорость U₀ .

(2.18)

где - безразмерные радиус-вектор, скорость частицы и газа, а также безразмерное время; - число Стокса, - число Фруда, - безразмерная внешняя сила, - единичный вектор ускорения силы тяжести.