Свойства дисперсии случайной величины:

1.                Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[C]=0.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[CХ]=C²M[X].

3.                Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х+Y]=D[X]+D[Y].

4.                Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х–Y]=D[X]+D[Y].

Пример 6.10. Вычислим дисперсию случайной величины, ряд распределения которой имеет вид (пример 6.1):

X	0	1
p

Вспомним, что для этой случайной величины M[X]= . Используя формулу (6.5), получаем:

D[X]=(0– )² +(1– )² =  +  = .

 

Рассчитаем дисперсию числа появлений события А в одном испытании, если вероятность этого события равна p. Математическое ожидание Х равно: M[X]= p. Дисперсия случайной величины Х:

D[X]=(0–p)²(1–p)+(1–p)²p = p(1–p)  (1–p+p)= p(1–p).

        

         Рассмотрим случайную величину X – число появления события А в n независимых испытаниях и найдем ее дисперсию. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. По прежнему будем обозначать ее через p, а вероятность непоявления события А через q=1–p.

Дисперсия D[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

M[X]=npq.

         Дисперсия биномиально распределенной случайной величины, рассматриваемой в примере 6.4 (n=3, аp=0,6), равна D[X]=np(1–p)= 30,60,4=0,72

6.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Легко заметить, что в отличие от математического ожидания, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Для характеристики рассеивания более удобно использовать другую величину, размерность которой совпадает с размерностью величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение.

 Средним квадратическим отклонением случайной величины X  называется квадратный корень из дисперсии:

.

Пример 6.11. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, ряд распределения которой (примеры 6.6, 6.9):

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

         Дисперсия этой случайной величины была вычислена в примере 6.9: D[X] =1,96. Следовательно,  =1,4.

        

6.2.4. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

         Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин  ,  , …,  , которые имеют одинаковые распределения, и следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание М, дисперсию D, среднее квадратическое отклонение . Введем новую случайную величину — среднее арифметическое рассматриваемых величин  :

и изучим числовые характеристики  .

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из этих величин:

М( )=М.

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из этих величин:

D( )=D/n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в   раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из этих величин:

( )=/ .

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. С увеличением n величина   почти перестает быть случайной и приближается к постоянной М. Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.