I способ

1) Обозначим: событие А – заяц подстрелен.

Этому событию соответствует множество исходов: q₁ – 1й попал и 2й попал

или

q₂ – 1й не попал и 2й попал

или,

q₃ – 1й попал и 2й не попал.

Событие, противоположное событию А, – событие А – заяц не подстрелен.

Событию А соответствует один исход: 1й не попал (А₁) и 2й не попал (А₂).

2) Р(А) = Р(А₁А₂) = Р(А₁)  Р(А₂), т.к. события А₁ и А₂ независимы.

Р(А) = 1– Р(А) = 1 – Р(А₁)  Р(А₂).

3) Р(А₁) = 1 – 0,8 = 0,2,

Р(А₂) = 1 – 0,75 = 0,25,

Р(А) = 1– 0,20,25 = 1 – 0,05 = 0,95.

II способ

1) Обозначим: событие А – заяц подстрелен.

Этому событию соответствует множество исходов:

q₁ – 1й попал (событие А₁) и 2й попал (событие А₂)

или

q₂ – 1й не попал (событие А₁) и 2й попал (событие А₂)

или,

q₃ – 1й попал (событие А₁) и 2й не попал (событие А₂).

А = q₁ + q₂ + q₃, т.к. логическому «или» соответствует сумма.

2) Вычислим соответствующие вероятности:

P(q₁) = 0,8  0,75 = 0,6, т.к. события А₁ и А₂ независимы, а логическому «и» соответствует

произведение,

P(q₂) = 0,2  0,75 = 0,15, т.к. события А₁ и А₂ также независимы,

P(q₃) = 0,8  0,25 = 0,2, т.к. события А₁ и А₂ также независимы;

P(А) = P(q₁ + q₂ + q₃) = P(q₁) + P(q₂) + P(q₃), т.к. события q₁, q₂, q₃ – несовместны.

3) P(А) = 0,6 + 0,15 + 0,2 = 0,95.

Задача 15.

Решение.

а)

1) Обозначим: событие А – цель поражена хотя бы одним стрелком.

Событие, противоположное событию А, событие А – цель не поражена ни одним стрелком: 1й не попал и 2й не попал и 3й не попал.

2) Р(А) = 0,1  0,2  0,4 = 0,008 (см. решение задачи 14 выше).

Р(А) = 1 – Р(А) = 1 – 0,008 = 0,992.

б)

1) Обозначим: событие А – зарегистрировано не менее двух попаданий в цель.

Рассмотрим соответствующие этому событию исходы и их вероятности:

q₁ – 1й попал (вероятность – 0,9) и 2й попал (вероятность – 0,8) и 3й не попал (вероятность – 0,4)

или

q₂ – 1й попал (вероятность – 0,9) и 2й не попал (вероятность – 0,2) и 3й попал (вероятность – 0,6)

или,

q₃ – 1й не попал (вероятность – 0,1) и 2й попал (вероятность – 0,8) и 3й попал (вероятность – 0,6)

или,

q₄ – 1й попал (вероятность – 0,9) и 2й попал (вероятность – 0,8) и 3й попал (вероятность – 0,6).

2) А = q₁ + q₂ + q₃ + q₄, т.к. логическому «или» соответствует сумма.

P(А) = P(q₁ + q₂ + q₃ + q₄) = P(q₁) + P(q₂) + P(q₃) + P(q₄), т.к. события q₁, q₂, q₃, q₄– несовместны.

3) Вычислим соответствующие вероятности:

P(q₁) = 0,9  0,8  0,4 = 0,288, т.к. стрелки стреляют независимо друг от друга, а логическому «и» соответствует произведение,

P(q₂) = 0,9  0,2  0,6 = 0,108,

P(q₃) = 0,1  0,8  0,6 = 0,048,

P(q₄) = 0,9  0,8  0,6 = 0,432.

Искомая вероятность: P(А) = 0,288 + 0,108 + 0,048 + 0,432 = 0,876.

в)

Ответ: 0,008 (см. пункт а) решения настоящей задачи).

Задача 16.

Решение.

1) Введём обозначения: событие А – вынут белый шар из двух.

Введём гипотезы (исходы):

В₁ – вынуты белый и чёрный шары,

В₂ – вынуты два белых шара,

В₃ – вынуты два чёрных шара,

В₄ – вынуты чёрный и белый шары.

2) По формуле полной вероятности:

.

3) По теореме умножения вероятностей найдём вероятности гипотез:

,

,

,

.

Заметим, что Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃) + Р(В₄) = 1.

4) Вычислим условные вероятности:

,

,

,

.

5) Искомая вероятность: .

Задача 17.

Решение.

1) Обозначим: событие А – попадание в цель хоть один раз при двух выстрелах.

К событию А может привести следующее множество исходов:

А₁ – попадание при первом выстреле и А₂ – попадание при втором выстреле

или

А₁ – попадание при первом выстреле и А₂ – не попадание при втором выстреле,

или

А₁ – не попадание при первом выстреле и А₂ – попадание при втором выстреле.

2) Рассмотрим событие А, противоположное событию А, – не попадание в цель.

К нему приводят следующие исходы:

А₁ – не попадание при первом выстреле и А₂ – не попадание при втором выстреле.

А = А₁  А₂, т.к. логическому «и» соответствует произведение.

3) Р(А) = 1 – Р(А).

Р(А) = Р(А₁  А₂) = Р(А₁)  Р(А₂), т.к. события А₁ и А₂ независимы.

Р(А₁) = 1 – Р(А₁) = 1 – 0,8 = 0,2,

Р(А₂) = 1 – Р(А₂) = 1 – 0,8 = 0,2.

По условию задачи: Р(А₁) = Р(А₂) = 0,8.

4) Р(А) = 1 – 0,2  0,2 = 1 – (0,2)² = 1 – 0,04 = 0,96.

Задача 18.

Решение.

1) Исходя из решения задачи 17:

Р(А) = 1 – Р(В)ⁿ,

где Р(А) – вероятность хотя бы одного попадания при 10ти независимых выстрелах,

Р(В) – вероятность попадания в мишень при одном выстреле (0,5 по условию задачи),

n – количество проведённых выстрелов.

2) Искомая вероятность: Р(А)­ = 1 – (0,5)¹⁰ = 1 – 0,00098  0,999.

Задача 19.

Решение.

1) Исходя из решения задачи 18:

0,999  1 – (Р)^x, где x – искомое число выстрелов, Р=0,8 – по условию задачи.

2) (Р)^x  1 – 0,999; (0,8)^x  0,001; х  31 ((0,8)³¹ 0,00099).

Таким образом, необходимо выполнить не менее 31 выстрела.

Задача 20.

Решение.

1) Всего выполнено 2+5+3=10 измерений.

Составим таблицу полученных значений измеряемой величины и соответствующих вероятностей:

xi	1,2	1,3	1,4
P(xi)	2/10	5/10	3/10

2) Математическое ожидание:

m_x = .

3) Дисперсия:

D_x = .

4) Среднеквадратическое отклонение: _x = + .

75