Упражнения и задачи для самостоятельного анализа и решения
Упражнение 1.
Образуют ли полную группу следующие группы событий?
а) Опыт — бросание монеты.
События: А1 — появление орла; А2 — появление решки.
б) Опыт — бросание двух монет.
События: В1 — появление двух орлов; В2 — появление двух решек.
в) Опыт — два выстрела по мишени.
События: А0 — ни одного попадания; А1 — одно попадание; А2 — два попадания.
г) Опыт — вынимание карты из колоды.
События: D1 — появление карты червовой масти;
D2 — появление карты бубновой масти;
D3 — появление карты трефовой масти.
Упражнение 2.
Являются ли несовместными следующие события?
а) Опыт — бросание монеты.
События: А1 — появление орла; А2 — появление решки.
б) Опыт — бросание двух монет.
События: В1 — появление орла на первой монете; В2 — появление решки на второй монете.
в) Опыт — два выстрела по мишени.
События: С0 — ни одного попадания; С1 — одно попадание; С2 — два попадания.
г) Опыт — два выстрела по мишени.
События: D1 — хотя бы одно попадание; D2 — хотя бы один промах.
д) Опыт — вынимание двух карт из колоды.
События: Е1 — появление двух чёрных карт; Е2 — появление туза; Е3 — появление дамы.
Упражнение 3.
Являются ли равновозможными следующие события?
а) Опыт — бросание симметричной монеты.
События: А1 — появление орла; А2 — появление решки.
б) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты.
События: В1 — появление орла; В2 — появление решки.
в) Опыт — выстрел по мишени.
События: С1 — попадание; С2 — промах.
г) Опыт — бросание двух монет.
События: D1 — появление двух орлов; D2 — появление двух решек; D3 — появление одного орла и одной решки.
д) Опыт — вынимание одной карты из колоды.
События: Е1 — появление карты червовой масти;
Е2 — появление карты бубновой масти;
Е3 — появление карты трефовой масти.
е) Опыт — бросание игральной кости.
События: F1 — появление не менее трех очков; F2 — появление не более четырех очков.
Задача 1.
Игральная кость бросается один раз. Каковы вероятности следующих событий: А – выпадение одного очка, В – выпадение нечётного числа очков, С – выпадение не менее трёх очков?
Задача 2.
Бросили две монеты: медную и серебряную. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал орёл?
Задача 3.
Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?
Задача 4.
Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 чёрных, 5 красных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) белым, б) чёрным, в) жёлтым, г) красным?
Задача 5.
В урне находятся 2 белых шара и 8 чёрных шаров. Сколько белых шаров следует добавить в урну, чтобы вероятность извлечения из неё одного белого шара была не меньше 0,99?
Задача 6.
Экзаменационная программа содержит 40 вопросов. На экзамене предлагается ответить на два из них. Ученик подготовил ответы на 30 вопросов. Какова вероятность того, что на экзамене ему предложат два вопроса, на которые он подготовил ответ?
Задача 7.
Замок имеет четырёхзначный цифровой код. Наугад выбираются четыре цифры. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различны?
Задача 8.
Наугад берётся трёхзначное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры будут различны?
Задача 9.
Из урны, содержащей 5 белых шаров и 3 чёрных шара, случайным образом извлекается 4 шара. Каковы вероятности того, что: а) среди них будет одинаковое число белых и чёрных, б) число белых превысит число чёрных?
Задача 10.
Студент из 30 экзаменационных билетов усвоил 24. Какова вероятность (в %) его успешного ответа на экзамене на билет: а) при однократном извлечении билета; б) при двукратном извлечении билета (вытянутый билет не возвращается!)?
Задача 11.
Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных.
Задача 12.
Имеется колода из 36 карт. Наугад вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 1 валет.
Задача 13.
Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет орёл и чётное число очков?
Задача 14.
Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по зайцу. Заяц подстрелен, если попал хоть один охотник. Вычислить вероятность того, что заяц подстрелен, если вероятность попаданий для охотников 0,8 и 0,75.
Задача 15.
Три стрелка одновременно стреляют в цель. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым – 0,8; третьим – 0,6. Какова вероятность того, что: а) цель будет поражена хотя бы одним стрелком; б) будет зарегистрировано не менее двух попаданий в цель; в) ни один из стрелков не попадёт в цель?
Задача 16.
В ящике находятся 5 белых и 4 чёрных шара. Наугад по одному из ящика вынимают два шара и затем из этих двух выбирают случайно один. Какова вероятность того, что он окажется белым?
Задача 17.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность попадания в цель хоть один раз при двух выстрелах?
Задача 18.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность хотя бы одного попадания при десяти независимым образом проведённых выстрелах?
Задача 19.
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна Р=0,2. При каком числе выстрелов цель будет поражена хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 0,999?
Задача 20.
Многократные измерения некоторой величины дали следующие значения (содержащие случайные ошибки): x1=1,2 (два раза); x2=1,3 (пять раз); x3=1,4 (три раза). Предполагая, что эти измерения равноточны, найти математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию результата измерения. Чему равна средняя квадратичная ошибка результата измерения?