Элементы математической статистики

Элементы математической статистики

Предмет и основные задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборочная совокупность, или выборка. Объём совокупности. Повторные и бесповторные выборки. Механические, серийные, типические, комбинированные выборки. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности. Выборки по одному признаку. Выборочные числовые характеристики.

Математическая статистика, как и теория вероятностей, изучает мир случайного, но другими, особенными методами.

Предметом математической статистики являются статистические данные, т.е. результаты наблюдений за массовыми случайными события­ми.

Основные задачи математической статистики:

• оценки неизвестных вероятностей случайных событий;

• нахождение приближенных законов распределений случайных величин, точные законы распределений которых неизвестны;

• оценки неизвестных параметров распределений случайных ве­личин: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения;

• оценки неизвестных коэффициентов корреляций между слу­чайными величинами.

1. Основные определения.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех изучаемых объектов.

Обычно генеральная совокупность – очень большое множество, ко­торое невозможно изучить все поэлементно. Примеры генеральных совокупностей: жители России, студенты г. Москвы, школьники г. Тулы, де­ти пятилетнего возраста г. Москвы и др.

Для того чтобы изучить генеральную совокупность, отбирают некоторую её часть, т.е. делают выборку.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называется совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называется число элементов в ней.

Объём генеральной совокупности будем обозначать буквой N, вы­борки –. Ясно, что всегда N много больше чем n: N  n.

Обычно N  1000, 10  п  1000.

2. Типы выборок.

Выборки делятся на повторные и бесповторные.

Выборка называется повторной, если отобранный объект перед от­бором следующего возвращается в генеральную совокупность, и беспо­вторной в противном случае.

Выборки также бывают механическими, серийными, типическими и комбинированными.

Выборка называется механической, если она получена с помощью отбора определенного числа процентов объектов генеральной совокупно­сти.

Пример: 10 % - отбирается каждый десятый объект; 5 % - отбирается каждый двадцатый объект.

Выборка называется серийной, если объекты отбираются не по од­ному, а целыми сериями.

Пример. Изучаются школьники школ города. Для этого выбираются случайно несколько школ и в них изучаются все дети.

Выборка называется типической, если отбор проводился из каждой типической части генеральной совокупности.

Пример. Школы можно разделить на начальные и средние, городские и сельские. Школьников можно разделить на классы, мальчиков и девочек и т.д.

Выборка называется комбинированной, если она получена с помо­щью некоторой комбинации типического, серийного и механического от­боров.

3. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой W(A) события А называется отношение числа m опытов, в которых событие А произошло, к числу n всех прове­денных опытов:

W(A) = m/n.

Если число опытов n достаточно велико, то считают, что вероятность события А приблизительно равна относительной частоте

Р(А)  W(A)

и ошибка уменьшается при увеличении числа n проведенных опытов.

Задача. Станок-автомат выпускает детали. Из 100 деталей 10 дета­лей оказались бракованными. Найти вероятность того, что случайно вы­бранная выпущенная станком деталь является бракованной.

Решение.

Используем статистическое определение вероятности:

Р(А)  W(A) = m/n = 10/100 = 0,1.