4. Размещения. Понятие факториала.

Как определено выше, размещение из n элементов по m – это упорядоченное m-подмножество из n-множества. Число размещений определяется по формуле:

A_n^m = A_{n, m} = , где m = . (2)

А – первая буква французского слова «arrangement», что означает «размещение, приведение в порядок».

Запись n! читается «n-факториал» и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 123…n.

Условились считать, что 0! = 1! = 1. (3)

Тогда по формуле (2), учитывая (3): А₀⁰ = =1.

А_n⁰ = 1, т.к. существует только одно подмножество n-множества, не содержащее элементов – пустое множество.

Кроме того, принимают А₀^m = 1, хотя А₀^m и не имеет комбинаторного смысла.

Задача 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны комсорг и староста, если каждый учащийся может быть избран на одну из этих должностей?

Решение.

Выбор Иванова комсоргом, Петрова старостой и выбор Петрова комсоргом, а Иванова старостой – это два различных способа выбора, т.е. имеем случай упорядоченного подмножества: размещения из 30 элементов по 2. По формуле (2):

A²₃₀ = A_{30, 2} = = 3029 = 870.

Число упорядоченных m-выборок из n-множества, т.е. размещений с повторениями, определяется по формуле: = = n^m, .

Задача 2. Абонент забыл последние три цифры телефонного номера. Какое наибольшее число вариантов номеров ему нужно перебрать, чтобы дозвониться (в этом случае необходимый номер набирается последним)?

Решение.

Имеем случай размещения с повторениями из 10 элементов по 3. Действительно, цифра в любой из трёх позиций может быть любая: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 (всего 10 вариантов), причём в соседних позициях могут присутствовать одинаковые цифры.

= = 10³ = 1000

5. Перестановки.

Размещение из n элементов по n называется перестановкой.

Число перестановок из n элементов обозначают P_n.

Р – первая буква французского слова «permutation», что означает «перестановка».

Из формулы (2), учитывая (3), при m = n получаем формулу для вычисления числа перестановок:

A_nⁿ = A_{n, n} = = P_n.

Задача 3. Сколько вариантов расположения слов допускает предложение: «Редактор вчера внимательно прочитал рукопись»?

Решение.

В данном предложении нет никаких грамматических ограничений на порядок слов, т.е. имеем случай перестановки из 5 элементов по 5.

P₅ = 5! = 5  4  3  2  1 = 120

Задача 4. Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение.

В данной задаче рассматривается шестиэлементное множество дежурных и требуется определить число шестиэлементных подмножеств этого множества, отличающихся друг от друга только порядком следования элементов.

P₆ = 6! = 6  5  4  3  2  1 = 720

Число перестановок с повторениями определяется по формуле:

= n!/(n₁!n₂!…n_k!),

где n_i – число повторений в перестановке элементов i-го типа.

Задача 5. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

Решение.

Поскольку в слове имеются 3 буквы а, перестановки будут происходить с повторениями. Воспользуемся формулой для числа перестановок с повторениями, учитывая, что всего в слове 6 букв, и каждая из букв з, д, ч встречается 1 раз.

= 6  5  4 = 120