Основания математики

Структуры на множестве. Элементы комбинаторики

Выборка. Отличие выборки от подмножества.

Упорядоченная выборка. Неупорядоченная выборка. Кратность элемента.

Упорядоченное подмножество, или размещение. Понятие факториала. Перестановка. Неупорядоченное подмножество, или сочетание. Размещение с повторениями. Перестановка с повторениями. Сочетание с повторениями. Основные правила комбинаторики.

1. Выборки и подмножества.

Пусть задано произвольное множество А из n объектов, состоящее из элементов a_i. Последовательность произвольных элементов

<a₁, a₂, …a_m>, a_i  A, i = (1)

называется выборкой объёма m из А, или m-выборкой из множества А, или m-выборкой из n-множества А.

Выясним различие выборки и подмножества.

Дело в том, что в выборке каждый элемент из некоторого множества А может встречаться произвольное число раз, т.е. объём выборки может превосходить объём исходного множества. Если же все компоненты m-выборки из n-множества А различны, то и m-выборка будет представлять собой m-подмножество множества А.

Таким образом, выборка подразумевает возможность наличия в ней одинаковых элементов, а подмножество, как известно из определения множества, не допускает повторений элементов.

Для отличия выборок от подмножеств в формулах для выборок вводят подчёркивание сверху (см. (1)).

Типичный пример выборки – слово в фиксированном алфавите, содержащее одинаковые буквы (например, слово «математика», составленное из букв русского алфавита).

2. Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента.

Если свойства выборки изменяются при транспозиции элементов (т.е. при перемене местами двух элементов), то выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной. Сравните, например, слова «волос» и «слово», составленные из букв русского алфавита. Упорядоченную выборку из множества десятичных цифр представляет собой телефонный номер, например, 5554433, т.к. номер 5454533 – это уже другой абонент.

Число появлений в выборке одного и того же элемента a_i называют его кратностью и обозначают (a_i). Если каждый элемент a_i m-выборки имеет кратность (a_i)=1, то выборка представляет собой m-подмножество множества А.

3. Понятия размещения, перестановки, сочетания.

Упорядоченное m-подмножество из n-множества называется размещением из n элементов по m, или m-перестановкой из n элементов. Например, у множества, состоящего из четырех элементов а, b, с, d, имеется 24 трёхэлементных упорядоченных подмножества:

abc, abd, acd, bcd,

acb, adb, adc, bdc,

bac, bad, cad, cbd,

bca, bda, cda, cdb,

cab, dab, dac, dbc,

cba, dba, dca, dcb.

Размещение из n элементов по n называется перестановкой. Например, у трёхэлементного множества а, b, с число перестановок равно шести: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Неупорядоченное m-подмножество из n-множества называется сочетанием из n элементов по m, или m-сочетанием из n элементов. Например, у рассмотренного выше множества, состоящего из четырех элементов а, b, с, d, имеется 4 трёхэлементных подмножества: abc, abd, acd, bcd.

В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих опреде­лённым условиям, причём в одних задачах подмножества, отличаю­щиеся порядком следования в них элемен­тов, следует считать различными (случай размещений), в других порядок следования элементов не важен, и подмножества, отличающиеся только рас­положением элементов, не считаются различными (случай сочетаний).

Рассмотрим размещения, перестановки, сочетания более подробно.