Мелитопольский государственный педагогический университет им. Б. Хмельницкого

кафедра математики и физики

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему:

«Применение кривых 2-го порядка в физике»

Выполнили:

Студенты 113-і группы

Бородай Евгений и

Глухенький Роман

Проверила:

Старший преподаватель

Кузьменко Е. М.

СОДЕРЖАНИЕ

Y

Введение

Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.

Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы исследовательской работы.

Целью является, изучение кривых второго порядка и их применение в физике.

Объектом исследования являются кривые второго порядка, а также задачи, связанные с ними.

Предметом исследования применение кривых второго порядка в физике

Задачи исследования:

• Проанализировать электронные и литературные источники по выбранной теме;

• Дать общие сведения кривых второго порядка;

• Показать применение кривых второго порядка в физике;

• Сформулировать выводы.

История развития кривых 2-го порядка

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Среди линий второго порядка - эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы. Линии второго порядка появились как сечения конических поверхностей.

Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, параболу, гиперболу, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?». Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой.

Название этих кривых придумал не Менехм. Их предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» («О кониках»). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе. Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения.

Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого. При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.

Такие кривые, как эллипс, гипербола и парабола имеют большое значение для космонавтики и астрономии, механики и архитектуры. С ними были знакомы еще древние греки. Греческие математики не знали ни метода координат, ни уравнений, тем не менее все свойства эллипса, гиперболы и параболы были им хорошо известны. Они получали и изучали эти кривые как плоские сечения конической поверхности. С тех пор эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями. Есть у эллипса, гиперболы и параболы и другое общее название. Уравнения этих кривых обязательно содержат по крайней мере одно слагаемое второго порядка. Поэтому эллипс, гиперболу и параболу называют кривыми второго порядка.

На протяжении всей истории развития науки и техники кривые второго порядка неизменно привлекали к себе внимание многих исследователей и ученых. Это объясняется тем, что эллипс, гипербола и парабола очень часто встречаются в окружающих нас явлениях природы и человеческой деятельности. Приведем лишь некоторые примеры. Камень или снаряд, выпущенный под острым углом к горизонту, летит по кривой, близкой к параболе (форма кривой немного искажается из-за сопротивления воздуха). Для устройства разнообразных прожекторов и антенн используются так называемые «параболические зеркала». На производстве в некоторых механизмах применяются «эллиптические зубчатки». Часто две величины бывают связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью (например, давление и объем газа согласно закону Бойля - Мариотта). Графиком такой функциональной зависимости является гипербола.

Особенно большое значение кривые второго порядка приобрели после открытий немецкого астронома Иоганна Кеплера (1571-1630) и английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727). Кеплер, наблюдая за видимыми перемещениями планет на небесной сфере, открыл три закона, один из которых устанавливает, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Ньютон не только теоретически обосновал законы движения планет, но и доказал, что каждое тело под действием притяжения другого тела может двигаться только по эллипсу, либо по параболе, либо по гиперболе. В частности, по этим кривым происходит движение всех комет Солнечной системы.

В наше время вокруг Земли вращаются по эллиптическим орбитам тысячи искусственных спутников, когда к Луне, Венере, Марсу отправлены десятки космических станций, кривые второго порядка используются еще интенсивнее, чем прежде.