Кривые 2-го порядка их использование в физике: окружность
С математической точки зрения движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения, однако с физической точки зрения, движение по окружности, - а в более широком смысле - движение по траекториям конического сечения, - является одной из важнейших форм движения в природе. Наряду с вектором перемещения ΔS удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением:
Δl = RΔφ.
При малых углах поворота Δl ≈ Δs:
Рисунок
1. Линейное 
и
угловое 
перемещения
при движении тела по окружности.
Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:
Угловая скорость измеряется в рад/с. Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω:
v = ωR
При
равномерном движении тела по окружности
величины v и ω остаются неизменными. В
этом случае при движении изменяется
только направление вектора
.
Равномерное движение тела по окружности
является движением с ускорением.
Ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:
Для
доказательства этого выражения рассмотрим
изменение вектора скорости
за малый промежуток времени Δt. По
определению ускорения
Векторы
скоростей
и
в точках A и B направлены по касательным
к окружности в этих точках. Модули
скоростей одинаковы vA = vB = v. Из подобия
треугольников OAB и BCD (рис. 2) следует:
Рисунок 2. Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по окружности.
При
малых значениях угла Δφ
= ωΔt
расстояние |AB|
=Δs
≈ vΔt.
Так как |OA|
= R
и |CD|
= Δv,
из подобия треугольников на рис.2
получаем:
При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:
При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным. В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде:
где
– радиус-вектор точки на окружности,
начало которого находится в ее центре.
Если тело движется по окружности
неравномерно, то появляется также
касательная (или тангенциальная)
составляющая ускорения.
В
этой формуле Δvτ
= v2
– v1
– изменение модуля скорости за промежуток
времени Δt.
Направление вектора полного ускорения
определяется в каждой точке круговой
траектории величинами нормального и
касательного ускорений (рис. 3).
Рисунок
3. Составляющие ускорения
и
при неравномерном движении тела по
окружности.
Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие vx и vy (рис. 4). При равномерном вращении тела величины x, y, vx, vy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом
Рисунок 4. Разложение вектора скорости по координатным осям.
ЭЛЛИПС
Эллипсом
называется геометрическое место точек,
для которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек плоскости, называемых
фокусами, есть постоянная величина,
большая, чем расстояние между фокусами.
Постоянную сумму расстояний произвольной
точки эллипса до фокусов принято
обозначать через 2а. Фокусы эллипса
обозначают буквами
и
, расстояние между ними - через 2с. По
определению эллипса
или
.
Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
(1)
где
; очевидно,
. Уравнение вида (1) называется каноническим
уравнением эллипса.
Эллипсы в реальности встречаются гораздо чаще, чем, кажется. В форме эллипса можно изготовить журнальный столик или соткать ковер.
А у садоводов свой способ применения эллипса: в землю втыкают два колышка, крепят веревку к колышкам (один конец к одному второй к другому), верёвку оттягивают в сторону и вычерчивают эллипс с помощью палки.
Эллипсы мы часто наблюдаем в жизни. Если, например, наклонить стакан с водой, то очертание верхнего слоя воды будет эллипсом, точно также, если от цилиндрического куска колбасы отрезать ломтики, ставя нож косо, то ломтики эти будут иметь очертания эллипсов. Вообще, если прямой цилиндр (или конус) разрезать наискось (так, чтобы не затронуть при этом оснований), то в разрезе получается эллипс.
Например, планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму.
Еще Кеплер (1571—1630) обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца не по кругам, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в фокусе каждого эллипса.
Прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вокруг Солнца по кривой, называемой эллипсом, причем Солнце находится в фокусе эллипса. Эллипс — это не совсем овал, это особым образом точно определяемая кривая. Получить такую кривую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это — геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это — окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).
Д
ругое
наблюдение Кеплера состояло в том, что
планеты движутся не с постоянной
скоростью: поблизости от Солнца—
быстрее, а удаляясь — медленнее. Более
точно: пусть планета наблюдается в два
последовательных момента времени,
скажем на протяжении недели, и к каждому
положению планеты проведен радиус-вектор.
Дуга орбиты, пройденная планетой за
неделю, и два радиус-вектора ограничивают
некоторую площадь, заштрихованную на
фиг.7.2. Если такие же наблюдения в течение
недели проделать в другое время, когда
планета движется по дальнему участку
орбиты (т. е. медленнее), то построенная
таким же способом фигура окажется по
площади равной прежней. Итак, в соответствии
со вторым законом орбитальная скорость
любой планеты такова, что радиус
«заметает» равные площади в равные
интервалы времени.
Третий закон был открыт Кеплером гораздо позже; он другого рода, нежели первые два: он уже касается не одной планеты, а связывает между собой разные планеты. Закон утверждает, что если сравнить между собой период обращения и размеры орбиты двух планет, то периоды пропорциональны полуторной степени размеров орбит. Здесь период — это время, нужное планете для того, чтобы обойти всю орбиту; размер же измеряется длиной наибольшего диаметра эллиптической орбиты, ее большой оси. Считая орбиты кругами (чем они почти и являются), можно сказать проще: время одного оборота по кругу пропорционально его диаметру (или радиусу) в степени 3/2. Итак, три закона Кеплера таковы:
Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Радиус-вектор от Солнца до планеты «заметает» равные площади в равные интервалы времени.
Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит: Т2~а3.
ГИПЕРБОЛА