Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции ряды.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.24 Mб
Скачать

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

……………………………….

Итого, получаем:

III. Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Пример. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

(См. Функция y = ln (1 + x)) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Тогда

Окончательно получаем:

Тест «Числовые ряды. Функциональные ряды»

Вопрос № 1.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 2.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 3.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 4.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 5.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 6.

Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:

:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 7.

Указать, чему равен 5-й член ряда :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 8.

Указать, чему равен 5-й член ряда :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 9.

Указать, чему равен 5-й член ряда :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 10.

Указать, чему равна частичная сумма ряда :

а) ; б) -3; в) ; г) 3.

Вопрос № 11.

Указать, чему равна частичная сумма ряда :

а) ; б) -3; в) ; г) 3.

Вопрос № 12.

Указать, чему равна частичная сумма ряда :

а) ; б) -3; в) ; г) 3.

Вопрос № 13.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “сумма числового ряда – это сумма всех его членов”; б) “сумма числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “сумма числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “сумма числового ряда – это сумма абсолютных величин его членов”.

Вопрос № 14.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “частичная сумма числового ряда – это сумма всех его членов”; б) “частичная сумма числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “частичная сумма числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “частичная сумма числового ряда – это сумма абсолютных величин его членов”.

Вопрос № 15.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “п-й остаток числового ряда – это разность сумма всех его членов и п-й частичной суммы”; б) “п-й остаток числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “п-й остаток числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “п-й остаток числового ряда – это разность всех его членов и суммы абсолютных величин его членов”.

Вопрос № 16.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд расходится”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при равен нулю”.

Вопрос № 17.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”.

Вопрос № 18.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”.

Вопрос № 19.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; б) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”; в) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; г) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”.

Вопрос № 20.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; б) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”; в) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; г) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”.

Вопрос № 21.

Какое из перечисленных утверждений является верным:

а) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; б) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”; в) “обобщённый гармонический ряд сходится при ”; г) “обобщённый гармонический ряд расходится при ”.

Вопрос № 22.

Указать, чему равна сумма ряда :

а) ; б) ; в) 1; г) 2.

Вопрос № 23.

Указать, чему равна сумма ряда :

а) ; б) ; в) 1; г) 2.

Вопрос № 24.

Указать, чему равна сумма ряда :

а) ; б) ; в) 1; г) 2.

Вопрос № 25.

Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что , это означает, что:

а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.

Вопрос № 26.

Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что , это означает, что:

а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.

Вопрос № 27.

Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что , это означает, что:

а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.

Вопрос № 28.

Указать, чему равен радиус сходимости степенного ряда :

а) 0; б) ; в) 1; г) 2.

Вопрос № 29.

Указать, чему равен радиус сходимости степенного ряда :

а) 0; б) ; в) 1; г) 2.

Вопрос № 30.

Указать, чему равен радиус сходимости степенного ряда :

а) 0; б) ; в) 1; г) 2.