
- •Лекция 1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Свойства рядов.
- •1.3. Критерий Коши.
- •1.4. Ряды с неотрицательными членами.
- •Лекция 2. Сходимость рядов.
- •2.1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
- •2.2. Признак Даламбера.
- •2.3. Предельный признак Даламбера.
- •2.4. Признак Коши. (радикальный признак)
- •2.5. Интегральный признак Коши.
- •Лекция 3. Знакопеременные ряды.
- •3.1. Признак Лейбница.
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •3.3. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
- •3.4. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
- •Лекция 4. Функциональные ряды.
- •4.1. Функциональные последовательности.
- •4.2. Функциональные ряды.
- •4.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •Лекция 5. Степенные ряды.
- •5.1. Понятие степенного ряда.
- •5.2. Действия со степенными рядами.
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •5.3. Разложение функций в степенные ряды.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Тест «Числовые ряды. Функциональные ряды»
- •Ключи к тесту
- •Типовой расчёт «Ряды»
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то получаем:
……………………………….
Итого, получаем:
III. Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим
дифференциал функции
и интегрируем его в пределах от 0 до х.
Пример.
Разложить в ряд функцию
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
(См. Функция y = ln (1 + x)) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При
получаем по приведенной выше формуле:
Разложение
в ряд функции
может быть легко найдено способом
алгебраического деления аналогично
рассмотренному выше примеру.
Тогда получаем:
Окончательно
получим:
Пример.
Разложить в степенной ряд функцию
.
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:
Тогда
Окончательно
получаем:
Тест «Числовые ряды. Функциональные ряды»
Вопрос № 1.
Какая из
перечисленных ниже формул является
формулой
го
члена ряда:
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вопрос № 2.
Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вопрос № 3.
Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:
:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вопрос № 4.
Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вопрос № 5.
Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:
:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вопрос № 6.
Какая из перечисленных ниже формул является формулой го члена ряда:
:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вопрос № 7.
Указать, чему
равен 5-й член ряда
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Вопрос № 8.
Указать, чему
равен 5-й член ряда
:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вопрос № 9.
Указать, чему
равен 5-й член ряда
:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вопрос № 10.
Указать, чему
равна частичная сумма
ряда
:
а)
;
б) -3; в)
;
г) 3.
Вопрос № 11.
Указать, чему равна частичная сумма ряда :
а) ; б) -3; в) ; г) 3.
Вопрос № 12.
Указать, чему равна частичная сумма ряда :
а) ; б) -3; в) ; г) 3.
Вопрос № 13.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “сумма числового ряда – это сумма всех его членов”; б) “сумма числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “сумма числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “сумма числового ряда – это сумма абсолютных величин его членов”.
Вопрос № 14.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “частичная сумма числового ряда – это сумма всех его членов”; б) “частичная сумма числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “частичная сумма числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “частичная сумма числового ряда – это сумма абсолютных величин его членов”.
Вопрос № 15.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “п-й остаток числового ряда – это разность сумма всех его членов и п-й частичной суммы”; б) “п-й остаток числового ряда – это предел его частичных сумм”; в) “п-й остаток числового ряда – это сумма п первых его членов”; г) “п-й остаток числового ряда – это разность всех его членов и суммы абсолютных величин его членов”.
Вопрос № 16.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд расходится”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при равен нулю”.
Вопрос № 17.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”.
Вопрос № 18.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд сходится”; б) “если предел общего члена ряда при равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться”; в) “если ряд расходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”; г) “если ряд сходится, то предел общего члена ряда при не равен нулю”.
Вопрос № 19.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
б) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”;
в) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
г) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”.
Вопрос № 20.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
б) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”;
в) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
г) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”.
Вопрос № 21.
Какое из перечисленных утверждений является верным:
а) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
б) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”;
в) “обобщённый гармонический ряд
сходится при
”;
г) “обобщённый гармонический ряд
расходится при
”.
Вопрос № 22.
Указать, чему равна сумма ряда
:
а)
;
б)
;
в) 1; г) 2.
Вопрос № 23.
Указать, чему равна сумма ряда
:
а) ; б) ; в) 1; г) 2.
Вопрос № 24.
Указать, чему равна сумма ряда
:
а) ; б) ; в) 1; г) 2.
Вопрос № 25.
Если при исследовании ряда на сходимость
по признаку Д`Аламбера установлено, что
,
это означает, что:
а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.
Вопрос № 26.
Если при исследовании ряда на сходимость
по признаку Д`Аламбера установлено, что
,
это означает, что:
а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.
Вопрос № 27.
Если при исследовании ряда на сходимость
по признаку Д`Аламбера установлено, что
,
это означает, что:
а) ряд сходится; б) ряд расходится; в) ряд может, как сходиться, так и расходиться; г) вопрос о сходимости остаётся открытым.
Вопрос № 28.
Указать, чему
равен радиус сходимости степенного
ряда
:
а) 0; б) ; в) 1; г) 2.
Вопрос № 29.
Указать, чему
равен радиус сходимости степенного
ряда
:
а) 0; б) ; в) 1; г) 2.
Вопрос № 30.
Указать, чему
равен радиус сходимости степенного
ряда
:
а) 0; б) ; в) 1; г) 2.