Теория вероятностей и математическая статистика.

Вопросы к экзамену

1.Сущность и условия применения теорией вероятностей. 2. Основные понятия теории вероятностей: событие и элементарные исходы события. 3. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятностей. 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 5. Теорема о вероятности хотя бы одного события. 6. Формула полной вероятности. Теорема Байеса. 7. Повторные испытания. Формула Бернулли.  8. Случайные величины, способы их описания. 9. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин. 10. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин. 11. Равновероятностный закон распределения вероятностей и его характеристики. 12. Биномиальный закон распределения вероятностей и его характеристики. 13. Закон распределения вероятностей Пуассона и его характеристики. 14. Нормлаьные закон распределения вероятностей и его характеристики. 15. Экспоненциальный закон распределения вероятностей. Функция надежности. 16. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. 17. Задачи математической статистики. 18. Способы отбора данных. Генеральная и выборочная совокупность. 19. Статистическое оценивание параметров дискретных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. 20. Статистическое оценивание параметров непрерывных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. 21. Статистическое оценивание: метод моментов, метод максимального правдоподобия. 22. Интервальные оценки для параметров нормального закона распределения. 23. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность, эффективность и надежность оценки. 24. Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза. Ошибки первого и второго рода. 25. Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений. 26. Проверка статистической гипотезы об однородности дисперсий. 27. Проверка статистической гипотезы о статистической взаимосвязи. 28. Критерий согласия. Критерий (Пирсона). 29. Линейное однофакторное уравнение регрессии. 30. Линейное многофакторное уравнение регрессии. 31. Схема однофакторного дисперсионного анализа.

1.Сущность и условия применения теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства, при анализе технологических процессов и др.

2.Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие является основным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

3.Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

Геометрическое

Вероятность случайного события А равна отношению меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

Статистическая вероятность случайного события А равна относительной частоте появления этого события в ряде испытаний, т.е.

где m – число испытаний, в которых появилось событие А;

n – общее число испытаний.

4.Теоремы сложения вероятностей.

Е сли А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Е сли и противоположные события, то

Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

Теоремы умножения вероятностей.

Если А и В независимые события, то

Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Если А и В зависимы, то

P(AВ)= Р(В)*Р(А/В)