8. Приближенное вычисление значения определенного интеграла (метод трапеций, метод Симпсона, метод Монте-Карло).

Из формулы Ньютона-Котера при n=1 имеем

H₀ H₁= , отсюда

(y₀+y₁).мы получили известную формулу трапеций для приближенного вычисления интеграла.

Суть метода: отрезок   разбивается на   интервалов. На каждом  -ом интервале строят прямоугольную трапецию, одной из боковых сторон которой является отрезок, полученный путем соединения значений функции в узлах  -го интервала. Площадь  -й трапеции равна:  

     Формула для вычисления интеграла есть сумма площадей всех элементарных трапеций:     или       

Общая формула Симпсона (параболическая формула). Из формулы Ньютона-Котера при n=2 получаем: H₀= ∙ , H₁= ,

H₂= . Следовательно, так как х₂–х₁=2h, имеем

(y₀+4y₁+y₂). Полученная формула носит название формулы Симпсона.

h h

Геометрически эта формула получается в результате замены данной кривой y=f(x) параболой y=L₂(x), проходящей через три точки М₀(х₀,у₀), М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂).

Интегрирование методом Монте-Карло. Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформаль­ным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на ри­сунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функ­ции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо 25ⁿ от­резков и столько же вычислений значения функции.

При размерности функции больше 10 за­дача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в част­ности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются систе­мы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная слож­ность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования. Предположим, требуется вычислить определенный интеграл . Рассмотрим случайную величину u, равномерно распределённую на отрезке интегрирования [a,b]. Тогда y(u) так же будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как M(y(u))= , где f(x) — плотность распределения случайной величины u , равная f(x) = на участке [a,b].

Таким образом, искомый интеграл выражается как

Но матожидание случайной величины y(u) можно легко оценить, смоделировав эту случай­ную величину и посчитав выборочное среднее.

Бросаем N точек, равномерно распределённых на [а,b], для каждой точки u_t вычисляем y(u_i).

Затем вычисляем выборочное среднее В итоге получаем оценку интеграла ≈ Точность оценки зависит только от количества точек N.

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения облас­ти интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «стол­биков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых троим такой же «столбик», определяя его ширину как (b–a)/N, и суммируем их площади.

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников отрезок интегрирования [a,b] разби­вается на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычисляются значения подынте­гральной функции. Вычисляя значения функции в случайных точках, можно получить более точный результат.

≈ где х_i=а+ᵞ_і(b-a). Здесь ᵞ_і - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0,1].

9. М-ды реш. систем линейн. алгебраич. ур-ий: м-д Гаусса, м-д итерации и метод Зейделя.

Методы решения систем лин. алгебр ур-ний (СЛАУ) можно разделить на две группы: точные и методы последовательных приближений (итерационные).

Точные методы (Гаусса, квадратного корня). С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. Предположим, что для нахождения неизвестных величин х₁, х₂, …, х_n задана СЛАУ вида:

1) 2)

3)	Пусть . Разделим первое уравнение системы (1) на . Тогда систему (1) можно записать в виде (2). С помощью первого уравнения можно из всех оставшихся уравнений исключить х1. Для этого умножим первое уравнение системы (2) последовательно на –

а₂₁, - а₃₁, …, - а_n1, затем сложим соответственно со вторым, третьим и так далее n-ым уравнениями системы (2). В результате получим эквивалентную систему (3). Предположим, что все n шагов преобразований Гаусса возможны. Тогда система (1) сведется к треугольному виду:

4)	Процесс сведения системы (1) к виду (4) называется прямым ходом метода Гаусса (Суть: сведение к треугольной матрице). Нахождение неизвестных величин в порядке хn, xn-1, …, x2, x1 из системы (4) называется обратным ходом метода Гаусса

(Суть: нахождение координат исходного вектора).

При вычислениях могут произойти ошибки, поэтому необходим контроль вычислений. Одна из наиболее простых схем контроля основана на том ,что увеличение значений всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы (1) контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Решая вместе с данной также и контрольную систему, получаем возможность контролировать попутно каждый шаг расчета.

Метод квадратного корня. Он основан на представлении матрицы А коэффициентов системы в виде произведения треугольных матриц. Это позволяет свести решение заданной системы к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами, что является задачей более простой. Метод предназначен для решения СЛАУ с симметрическими матрицами. Если матрица симметричная, то . Искомая с-ма распадается на 2: и

Метод простой итерации. При большом числе неизвестных линейной системы удобнее пользоваться итерационными численными методами, позволяющими получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя и т.д.). Итер метод для начала вычисления требует задания одного или нескольких начальных приближений.

Систему линейных алгебраических уравнений запишем в матричном виде: Полагая, что диагональные элементы матрицы А ; разрешим первое уравнение системы относительно х₁, второе – относительно х₂ и т.д. Получим эквивалентную систему уравнений вида:

(1), где . Введем в рассмотрение матрицы:

. Тогда (1) записывается в виде: (2)

Полученную с-му (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем, например, столбец свободных членов .

Далее последовательно строим матрицы-столбцы

(3).Если последовательность приближений имеет предел то этот предел является решением системы (1), а, следовательно, и системы (1). т.е. предельный вектор является решением системы (2) и системы (0).

Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3) носит название метода итерации.

Теорема 1. для сходимости последовательности ( - произвольно) достаточное условие есть

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении – ого приближения неизвестной , используются вычисленные ранее -ые приближения неизвестных .

Алгоритм метода Зейделя для системы (2) следующий: Приведённая выше теорема сходимости для метода простой итерации справедлива для метода Зейделя. Как правило, метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации.