Глава 2. Прикладная математика Дискретная математика

1. Сочетания. Т-ма о кол-ве сочетаний. Примеры. Бином Ньютона: опр-е и формула. Связь со шк. программой. Биномиальные коэффициенты и число сочетаний. Св-ва биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля и схема его построения.

Сочетания. Сколькими способами можно выбрать из мн. содержащего n элементов, подмн. имеющие k эл. Такая выборка наз. сочетанием из n по k.Общее число всех сочетаний из n по k обозначается . Значит, справедлива формула . Из этой формулы находим, что

Свойства сочетаний: 1. Док-во1: Оба числа выражаются одной и той же формулой

.

2. Каждое сочетание из k элементов определяет сочетание из (n-k) оставшихся элементов и наоборот, значит числа сочетаний из k и (n-k) элементов равны .

Док-во2: Выделяем некоторый произвольный элемент а, число k сочетаний, в которые он входит равно (т.к. остальные k-1 элементы нужно выбирать из n-1), - число сочетаний, в которые этот а не входит, - количество разных наборов k объектов, которые выбираются из n объектов.

3. коэффициенту при в многочлене . Другими словами: коэффициенту, который равен числу различных способов выбора k скобок (1+x) среди n таких скобок.

4. =

5. . 6. , при n 1

Совокупностью наз. набор элементов, в кот. встречается n1 раз, - n2 раза, - раз, а порядок эл. не имеет значения.

Сочетаниями с повторениями из n по k наз. k-элементные совокупности, эл. кот. выбраны из элементных мн.

Сочетание с повторением. Вывод формулы. Пусть дано множество из n различных элементов. Неупорядоченные выборки длины k с повторением называются сочетание с повторениями. Количество всех сочетаний с повторением из n элементов по k элементов вычисляется по формуле: . Для вывода формулы рассмотрим задачу: В магазине имеется 4 вида конфет: дюшес, ромашка, весна, алёнка. Требуется купить 7 конфет. Сколько вариантов покупки.

Выбор конфет замен. 1 и раздел их нулями т.е. покупка имеет код. ДРВА получили код 11011101012311. Например: код 000111-покупка 3 ален., т.о. установка взаимооднозначначного соотв. между всеми выборами длины 7 с возможными повторениями и всеми перестановками и 3-х нулей разделителей. . Т.о. формула если имеются предм. n разн. Типов. Без огран. числа предм. каждого типа и требуется опр. сколько комбинаций можно сделать из них чтобы в кадж. комб. вход k-предм. k>0 и k м.б. >n. То ответ дается формулой

= P(k; n-1)= (3). Док-во: каждая комбинация шифруем с помощью 0 и 1:1-предметы 0-разделитель; Тогда записываем k-единиц и добавить, n-1 ноль мы получим код при которого выбираем k-предметов 1-го типа и не одного предмета др. типа. Переставляя всеми способов k-единиц, и n-1 ноль будем каждый раз получим некоторый код соответствия некоторой рассмот. Из k предметов. Всего таких способов переставл ф-ла (3).

Сочетание без повторений. Вывод формулы. Постановка задачи. Пусть множество А содержит n элементов. Выделим из множества А некоторое подмножество, содержащее m элементов (m ≤ n). Сколько существует таких подмножеств? Каждое подмножество множества А, содержащее m элементов, называется сочетанием m элементов из n, где n = |A|. Число всех сочетаний из n элементов по m обозначается символом . Нижний индекс n в этом обозначении есть число всех тех элементов, из которых осуществляются выборки. Верхний индекс m показывает, сколько элементов входит в выборку. В некоторых источниках, принято считать, что верхний индекс – это число элементов, из которых осуществляются выборки, а нижний индекс – число элементов, образующих выборку. В обозначении числа сочетаний также нет единообразия. Запишем формулу числа размещений без повторений: Размещения, описываемые этой формулой, отличаются друг от друга элементами или порядком элементов. Сочетания же отличаются одно от другого только элементами. Если число разделить на m!, то получим формулу для числа сочетаний из n элементов по m:

Бином Ньютона – это формула разложения степени двучлена (бинома) в виде многочлена от a и b. Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид

, где - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а "!" – это знак факториала).

К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида

есть частный случай бинома Ньютона при n=2. Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения , а

выражение Называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля. Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. Он построен на основе двух свойств:

1) 2) .

В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:

показатель степень	биномиальные коэффициенты
0
1
2
3
…		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n				…	…	…	…	…

Треуг-к Паскаля чаще встречается в виде знач. коэф-тов бинома Ньютона для натуральных n:

показатель степень	биномиальные коэффициенты
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
…		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n				…	…	…	…	…

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять получено как сумма четверки и шестерки. Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов

Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:

• коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой

• 

• сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона: ;

• сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний

Пример: Напишите разложение выражения по формуле бинома Ньютона.

Решение: Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем

.

2. Графы. Простой неориентированный граф, элементы графа, порядок и размер графа. Ориентированный граф. Способы задания графа: аналитический и геометрический. Смежность и инцидентность элементов. Матрицы смежн и инцид-ти. Изоморфизм графов. Мультиграфы и псевдографы. Степень вершины графа. Лемма о рукопожатиях.

Пусть V — непустое множество, V⁽²⁾ — множество всех его двухэлементных подмножеств. Пара (V, Е), где Е — произвольное подмножество множества V⁽²⁾, называется графом. Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества E — ребрами. Итак, граф — это конечное множество V вершин и множество E ребер, EV⁽²⁾. Множества вершин и ребер графа G обозначаются символами VG и EG соответственно. Вершины и ребра графа называются его элементами. Число |VG| вершин графа G называется его порядком и обозначается через |G|. Если |G| = n, |EG| = m, то G называют (n, m)-графом.

Две вершины u и v графа смежны, если множество {и, v} является ребром, и не смежны в противном случае. Если e = {и, v} — ребро, то вершины u и v называют его концами. В этой ситуации говорят также, что ребро e соединяет вершины u и v. Такое ребро обозначается символом uv.

Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

Вершина u и ребро e называются инцидентными, если v является концом ребра e (т. е. e = иv), и не инцидентными в противном случае.

Число ребер инцидентных вершине наз. степенью вершины. (deg(u), d(u)).

Определение: Формально неориентированные графы – это совокупность двух множеств V и некоторого подмножества Ес . т.е. некоторые наборы неупорядоченных пар элементов из V.

Если у графа есть ребро типа (V,V), где первый и второй элемент совпадают, то такое ребро называется петлёй, если в графе есть несколько рёбер ( Vi и Vj ), то ребро ( Vi и Vj ) называют кратным.

Определение: Граф называется простым, если каждое ребро (v1,v2)присутствует в графе только один раз, считается, что ребер вида (v,v) в графе нет, ребра (v1,v2) и (v2,v1) совпадают.

Граф G называется полным, если любые две его вершины соеденены ребром. Полный граф порядка n обозначается символом K_n

Два графа G и H наз. изоморфными если сущ.такое взаимооднозначное соотв. между мн. их вершин, сохран. смежность.

Два графа наз. изоморфными если их вершины можно занумировать так, что вершины с одинак. нумированием будут либо смежными в обоих графах либо нет.

Неориентированные графы, содержащие петли, называются псевдографами. Неориентированные графы, содержащие кратные рёбра, называются мультиграфами.