Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Информатика ГОС - Full version2.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.11 Mб
Скачать

Вычислительные методы и компьютерное моделирование

7. Числ. Методы решения алгебраич-х и трансцендентных уравнений с одной переменной (метод деления отрезка пополам, метод простой итерации, метод Ньютона

Пусть дано ур (1), где ф-ция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b. Всякое значение , обращающее ф f(x) в нуль, т.е. такое, что , называется корнем ур-я f(x) = 0. Метод деления отрезка пополам заключается в следующем: В качестве нулевого приближения к корню берем середину отрезка (имеется в виду, что корень уже отделен и принадлежит отрезку ). Вычисляем значения функции в точке . Из двух полученных отрезков выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки. В качестве первого приближения к корню принимаем середину нового полученного отрезка и т.д. В результате на определенном шаге получаем либо точный корень уравнения , либо бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , таких что (*), . (**)

Процесс деления отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше некоторого сколь угодно малого . Любая точка последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью. Метод простой итерации заключается в следующем:

Пусть дано уравнение (1). Заменим уравнение (1) эквивалентным уравнением x=φ(x) (2). Выберем каким-либо способом грубое приближение x0 к корню и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое значение x1=φ(x0) (3). Подставим в правую часть (3) вместо x0 значение x1 и получим новое приближение x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, получаем последовательность {xn} приближений, где xn=φ(xn-1), n=1,2,… (4). Если полученная последовательность {xn} сходится, т.е. существует , то он является корнем уравнения (1). Последовательность сходится тогда, когда ф.φ удовл. усл: |φ’(x)|<=q<1, a<x<b. На практике процесс итерирования прекращают при выполнении усл. . Получаем приближенное реш-е. нулевое приближение выбираем из отрезка приближения корня.

Метод Ньютона и секущих. Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближенное значение корня , , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Положим где считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим следовательно, Найдем следующее приближение корня:

Теорема: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения (1) с любой степенью точности.

Вычисления прекращаются при выполнении , где - заданная точность.

В методе Ньютона на каждом шаге необходимо вычислить три величины ; при этом главная часть труда затрачивается на нахождение и . Кроме того, обязательным является требование . Можно уменьшить вычислительную работу, отказавшись от вычисления одной из этих величин. Заметим вычисление следующим образом

Тогда метод Ньютона перейдет в следующую формулу: Эта формула – метод секущих.

Геометрически метод секущих эквивалентен замене небольшой дуги кривой секущей, проходящей через точки и .

Метод секущих является двушаговым, т.е. нахождение следующего значения требует знания двух предыдущих значений , . В частности начало расчета требует знания двух начальных значений х0 и х1.