Теория вероятностей и математическая статистика

4. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Закон распределения. Плотность распределения: определение и свойства. Математическое ожидание случайной величины: определение и свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем не известно заранее, какое именно. Различают СВ дискретного и непрерывного типа. Возможные значения дискретной СВ могут быть заранее перечислены.

Возможные значения непрерывной СВ не могут быть заранее перечислены и заполняют некоторый промежуток сплошь.

Примеры дискретных случайных величин: число появлений герба при 3-х бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3; Примеры непрерывных случайных величин: абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле;

Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями . X может принимать любое из этих значений с некоторой вероятностью. В результате опыта произойдет одно событие из полной группы событий . Вероятности этих событий обозначим буквой p с соответствующими индексами – .Т.к. эти несовместные события образуют полную группу, то .

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий . Этим мы установим закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Формой задания закона распределения является таблица

Такую таблицу называется рядом распределения СВ X. Пусть имеется СВ X с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от до . , т.е. вероятность есть приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим x0. В пределе получим производную от функции распределения . Обозначим (*).

Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной СВ X. Иногда называют дифференциальной функцией распределения.

Основные свойства плотности распределения. , т.К. – неубывающая функция; ; ; Вероятность того, что св попадет в интервал от α до β ;

Среди числовых характеристик СВ нужно прежде всего отметить те, к-ые выражают положение СВ на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее ориентировочное значение СВ, около к-го группируются все возможные значения СВ.

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание СВ, которое иногда называют средним значением СВ

Мат.ожиданием (средним значением) дискретной СВ называют сумму произведений значений СВ на соответствующие им вероятности.

Св-ва: Мат.ожидание постоянной величины равно этой постоянной. Действительно, если X принимает только одно значение С, то вероятность, с которой это значение принимается, равна 1 и . Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю: . Математическое ожидание СВ характеризует ее в среднем, это центр ее распределения.

Дисперсия СВ есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания .

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых СВ равна сумме их дисперсий, то есть

4. Упрощенное правило вычисления дисперсии: дисперсия СВ равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ и квадратом ее математического ожидания .