Архитектура и программное обеспечение вычислительных систем

25. Комбинаторные схемы. Логические элементы с числом входов больше двух. Преобразование основных логических элементов: И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Логические схемы. Применение двойных логических элементов при решении задач.

x	y	xy
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция И над элементами булевой алгебры. Логическая операция И обозначается точкой (·) или подразумевается при выписывании рядом булевых переменных. Так, операция И между двумя переменными x и y записывается в вид x·y или ху. В литературе для обозначения этой операции часто используется также символ . Операция И над двумя переменными x и y при этом записывается в виде x y.

x	Y	X+y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Эту операцию часто называют также логическим умножением или конъюнкцией.

Операция ИЛИ над элементами булевой алгебры. Булева операция ИЛИ обозначается знаком плюс. (+) Эта операция над переменными х и у записывается в виде x+y. В литературе для обозначения этой операции часто используется также символ . Операция ИЛИ над двумя переменными x и y при этом записывается в виде x y. Эту операцию часто называют логическим сложением или дизъюнк­цией.

Операция НЕ над элементами булевой алгебры. Логическую опе­рацию НЕ называют отрицанием, инверсией или дополне­нием. Мы будем обозначать ее черточкой над переменной (¯). Отрицание переменной х записывается в виде .

Операция НЕ удовлетворяет постулатам: =1, если x =0; =0, если x =1.

В литературе также используется штрих (′) как символ операции НЕ. В этом случае отрицание х записывается как х′.

В алгебре логики справедливы переместительный, сочетательный и распределительный законы. Порядок выполнения логических операций следующий:

• первыми выполняются операции НЕ, когда они охватывают сразу две и более переменных,

• затем выполняются операции И

• последними ИЛИ.

Таким образом, сохраняется тот же порядок выполнения, как в обычной алгебре: сначала все умножения, а потом сложения.

Однако, поскольку в алгебре логики возможны только две операции, эквивалентные сложению и умножению, на нее нельзя распространять все действие элементарной алгебры. В алгебре логики нет вычитания, поэтому нет деления. Поскольку нет деления, при преобразовании логических функций нельзя сокращать общий множитель.

Логические элементы (вентили) графически могут изображаться так:

– Вентиль И, Вентиль ИЛИ, Вентиль НЕ.

Довольно часто необходимо иметь логические элементы с большим числом входов. Пример: 3 входа.

Этому элементу соответствует булево выражение: А·В·С=Y. Таблица истинности для данной схемы будет выглядеть следующим образом.

Выше приведенный логический элемент можно представить в виде двух элементов И с двумя входами.

Входы			Выходы
	В	А	Y
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

И спользование инвертора для преобразования логических элементов. Преобразование основных логических элементов И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ легко выполнить с помощью инверторов: 

Построение логических схем из элементов И, ИЛИ, НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ. Современные серии интегральных микросхем содержат широкий набор логических элементов. Однако некоторые Функции в этих сериях не реализованы. Из-за этого или в следствии необходимости сократить номенклатуру используемых деталей при проектировании дискретных устройств приходится применять ограниченный набор элементов, например, только элементы И-НЕ или ИЛИ-НЕ, представляющие функционально полные базисы. Необходимость приведения логических выражений к заданному базису возникает также при переводе релейно-контактных схем автоматики на бесконтактные логические элементы, т. к. в этих схемах используется параллельное и последовательное соединение контактов, которое описывается логическими функциями ИЛИ и И. При замене вида контакта «замкнутого» на «разомкнутый» и обратно используется функция отрицания НЕ. Запись логической функции в заданном базисе осуществляется с помощью булевой алгебры.

Приведем запись логической функции ИЛИ к базису ИЛИ-НЕ .

Запишем логическую функцию ИЛИ при переводе к базису И-НЕ.

Элемент инверсии функции получаем таким же образом с элемента И-НЕ, как и с элемента ИЛИ-НЕ.

Заменим логическую функцию И на базовые элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ

А

Р

=

В

Применение двоичных логических элементов. Существуют три основных способа для решения задач символьной логики: булевы выражения, таблицы истинности и условные обозначения логических элементов.

Рассмотрим конструирование схем по условным обозначениям логических элементов.

Например, задано булево выражение (читается так: не А и В, или А и не В, или не В и С равно Y), которое необходимо реализовать в виде схемы. Из выражения заметно, что для получения нужного результата требуется выполнить логическую операцию ИЛИ над т. е. необходимый результат на выходе Y можно сформировать с помощью логического элемента ИЛИ с 3 входами.