48. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл. Применение к приближенным вычислениям.
Дифференциалом
функции
в
называется
главная, линейная относительно
,
часть приращения функции.
.
Покажем,
что
и
эквивалентные
бесконечно малые при
:
(
- бесконечно малая).
Геометрический
смысл дифференциала:
Пр
оведем
к графику функции
в
точку
касательную
и
рассмотрим ординату этой касательной
для точки
.
На рисунке
,
.
Из прямоугольного треугольника
имеем:
,
т.е.
.
Но, согласно геометрическому смыслу
производной,
.
Поэтому
или
.
Это означает, что дифференциал функции
в
равен
приращению ординаты касательной к
графику функции в этой точке, когда
получает
приращение
.
Приближенные
вычисления:
Пример:
Вычислить
.
Решение:
,
,
.
.
Свойства
дифференциала
|
|
Функции:
f,
u,
v
Аргумент (независимая переменная):
x
Производная функции: y'(x),
f
'(x)
Константа: C
Действительные числа: A,
α
|
Приращение
функции: Δy
Приращение независимой переменной:
Δx
Дифференциал функции: dy
Дифференциал независимой
переменной: dx
|
Рассмотрим
функцию y
= f(x)
и предположим, что в некоторой точке
x
аргумент получает приращение
dx,
которое называется дифференциалом
независимой переменной.
Функция y
= f(x)
имеет дифференциал
в точке x,
если ее приращение можно представить
в виде суммы двух слагаемых:
Δy
= f(x
+ Δx)
− f(x)
= AΔx
+ α,
где коэффициент A
не зависит от Δx,
а величина α
имеет более высокий порядок малости
относительно приращения Δx,
то есть α/Δx
→ 0 при Δx
→ 0.
В записанной формуле главная
линейная часть
приращения называется дифференциалом
функции
f(x)
в точке x
и обозначается как
dy
= AΔx.
В этом выражении коэффициент A
равен значению производной f
'(x)
в точке x.
Дифференциал
независимой переменной
равен ее приращению:
dx
= Δx
Дифференциал
функции
равен произведению производной на
дифференциал независимой переменной:
dy
= df(x)
= f
'(x)dx
Выражение
производной через дифференциалы
f
'(x)
= dy/dx
Дифференциал
постоянного числа
равен нулю:
dС
= 0
Дифференциал
суммы функций
равен сумме дифференциалов:
d(u
+ v)
= du
+ dv
Дифференциал
разности функций
равен разности дифференциалов:
d(u
+ v)
= du
+ dv
Постоянный
множитель
можно выносить за знак дифференциала:
d(Сu)
= Сdu
Дифференциал
произведения функций
d(uv)
= vdu
+ udv
Дифференциал
частного
|
Инвариантность
формы первого дифференциала
Если
x
- независимая переменная, то dx
= x
- x0
(фиксированное приращение). В этом случае
имеем
df(x0)
= f'(x0)dx. (3)
Если
x
= φ(t)
- дифференцируемая функция, то dx
= φ'(t0)dt.
Следовательно,
т.
е. первый дифференциал обладает свойством
инвариантности относительно замены
аргумента.
