35. Модели систем массового обслуживания. Марковские случайные процессы. Потоки событий. Классическая смо и смо с отказами. Их основные операционные характеристики.

Пусть есть некоторый поток событий с интенсивностью λ (транспортный поток, поток клиентов). t – среднее число событий, которое происходит за единицу времени. Поток может быть как Пуассоновским (стационарный, без памяти, ординарный), так и нет. Но можно задать вероятностные свойства этого потока: функция распределения для интервалов в этом потоке.

f(τ_вх) – функция распределения для случайных событий на входе в систему.

λ попадает в СМО. Попав в СМО у любой заявки клиента есть 2 пути:

1)получить обслуживание и образовать выходной поток событий (μ – интенсивность выходного потока или интенсивность потока обслуживания. Каждый выход из такой системы происходит в случайный момент времени. f(τ_вых) – функция распределения в потоке обслуживания)

2)поток отказов в обслуживании по какой-то причине

Q=Q(x,y), Q – критерий качества функионирования СМО, х – контролируемые факторы (μ, f(τ_вых)), у – неконтролируемые факторы (λ, f(τ_вх)).

Q – будет тем больше, чем больше клиентов обслужили.

Потери пропорциональны количству отказов и времени простоя (неполной загрузки) системы.

Каналы обсдуживания:

-Одноканальные системы

-многоканальные системы

Структурная модель многоканальной системы:

Если многоканальная система однородная, то все каналы одинаковые, и каждый из клиентов может пойти на любой из каналов. Если все каналы заняты, то очередь или отказ. m – количество месть в очереди, m=0… . Если в системе определена очередь, то нужно определить дисциплину в рамках этой очереди(FIFO, случайный выбор, с приоритетами). В однородной системе одинаковая интенсивность обслуживания – μ.

Символика Кэнделла – кортеж из 4-х символов: СМО=< f(τ_вх), f(τ_вых), n,m>, n – количество канало обслуживания. f(τ) – функция распределения в потоке заявок. Обозначения: М – Пуассоновские потоки, Д – детерминированный регулярный поток (когда интервалы между событиями фиксированные величины, а не случайные), Е – поток Эрланга.

Классические СМО=<М/М/1/ >

Структурно-функциональная модель.

При функционировании системы возникает двойная неопределенность: 1)не знаем, когда заявка придет, те время случайное; 2)не знаем сколько времени заявке придется провести в очереди + случайное время придется провести на самом обслуживании.

Пусть S(t) – характеристика состояний системы в момент времени t. В этой системе со временем меняется количество заявок. k(t) – количество заявок, которое находится в системе в некоторый ммоент времени t. Можно найти p_k(t) – вероятность того, что в момент времени t в системе находится k заявок.

Чтобы найти p_k(t) и его использовать для определения характеристик данной ОТС нужно решить систему уравнений Колмогорова. Это марковская система (или марковский процесс – такой процесс, для которого в любой момент времени t_o вероятность p_i(t>t_o), зависит только от состояния системы в момент t_o и не зависит от состояния системы в момент времени меньший, чем t_o.

Граф состояний для классической системы:

Уравнения Колмогорова:

к=0

к=1

к

Обозначим: ρ=λ/μ – нагрузка на систему массового обслуживания.

Решение системы: . Возможны 2 случая:1) λ/μ<1 – p_o конечно и p_к тоже конечны; 2) λ/μ>=1 – ситема не справляется с потоком заявок, не успевает их обработать, и очередь расчет со временем. Стационарного состояния не существует.

Операционные характеристики:

1.Среднее число заявок в системе N(ρ) – мат ожидание.

2.Дисперсия . σ – стандартное отклонение.

3. Среднее время, которое заявка проводит в системе T(ρ) – мат ожидание случайной величины τ_вх потока. . τ – время, которое заявка проводит в системе, f(τ) – функция распределения интервала времени τ. τ=τ_ожид+τ_обсл.

Марковская СМО с отказами: <М/М/1/m>

Отличие: если очередная заявка пришла в систему, а все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему.

Количество состояний в системе к – конечное. Значит будет выполняться достаточное условие для существования придельных вероятностей в системе. (эти вероятности существуют в системе при любом ρ).

Граф:

Уравнения Колмогорова те же самые

Операционные характеристики:

1.Среднее число заявок в системе N(ρ,m).

Многоканальная система с отказом <М/М/n/0>

Всего n каналов. n от 1 до бесконечности. Каждый канал работает с интенсивностью μ. Заявка может попасть на любой канал, который свободен. Если каналы заняты, то пришедшая заявка попадет в отказы. Такие модели были придуманы Эрлангом.

Граф:

Здесь выполняется достаточное условие существования придельной вероятности (система марковская, число состояний конечное, из одного любого состояния можно перейти в любое другое за конечное число шагов )

Система уравнений Колмогорова:

к=0

к=1

к

Операционные характеристики

1. Вероятность отказа Р_отк(ρ,n) – вероятность того, что заявка не попадет на обслеживание: Р_отк(ρ,n)=p_k=n=

2. Пропускная способность А – среднее число заявок, которое в единицу времени проходит через всю систему.

3. Среднее число занятых каналов, то же что среднее число заявок в системе:

Метрология, стандартизация и сертификация (Щербатский В.Б,)