2. Основний рівень та інтервали варіювання вхідних факторів

При виборі значень факторів перш за все треба окреслити їх межі. При цьому повинні враховуватися обмеження декількох типів. Перший тип - принципові обмеження для значень факторів, які не можуть бути порушені ні за яких обставин. Наприклад, якщо фактор - температура, то нижньою межею буде абсолютний нуль. Другий тип - обмеження, зв’язані з техніко-економічними міркуваннями, наприклад, з вартістю сировини, дефіцитністю окремих компонентів, часом ведення процесу. Третій тип обмежень, з якими найчастіше доводиться мати справу, визначається конкретними умовами проведення процесу, наприклад, апаратурою, технологією, організацією. У реакторі, виготовленому з деякого матеріалу, температуру можна підняти вище температури плавлення цього матеріалу або вище робочої температури даного каталізатора.

Оптимізація зазвичай починається в умовах, коли об'єкт вже піддавався деякими дослідженнями. Інформацію, що міститься в результатах попередніх досліджень, будемо називати апріорною (тобто отримана до початку експерименту). Ми можемо використовувати апріорну інформацію для отримання уявлення про параметр оптимізації, про вхідні фактори, про найкращі умови ведення процесу і характер поверхні відгуку, тобто про те, як сильно змінюється параметр оптимізації при невеликих змінах значень факторів, а також про кривизну поверхні. Для цього можна використовувати графіки (або таблиці) однофакторних експериментів, що здійснювались в попередніх дослідженнях або описаних у літературі. Якщо однофакторну залежність не можна уявити лінійним рівнянням (в розглянутій області), то в багатовимірному випадку, безсумнівно, буде суттєва кривизна. Найкращим умовам, визначеним з аналізу апріорної інформації, відповідає комбінація (або декілька комбінацій) рівнів факторів. Кожна комбінація є багатовимірною точкою в факторному просторі. Її можна розглядати як вихідну точку для побудови плану експерименту. Назвемо її основним (нульовим) рівнем. Значення факторів для нульового рівня позначимо через  . Побудова плану експерименту зводиться до вибору експериментальних точок, симетричних щодо нульового рівня.

В різних випадках ми маємо в своєму розпорядженні різні відомості про область найкращих умов. Якщо є відомості про координати однієї найкращої точки і немає інформації про межі визначення факторів, то залишається розглядати цю точку в якості основного рівня. Аналогічне рішення приймається, якщо кордон відомий і найкращі умови лежать всередині області. Може трапитися, що координати найкращою точки невідомі, але є відомості про деяку підобласть, в якій процес йде досить добре. Тоді основний рівень вибирається або в центрі, або у довільній точці цієї підобласті. Відомості про підобласті можна отримати, аналізуючи вивчені раніше подібні процеси, з теоретичних міркувань або з попереднього експерименту. Після того як нульовий рівень обраний, переходимо до наступного кроку - вибору інтервалів варіювання. Тепер наша мета полягає в тому, щоб для кожного фактора вибрати два рівня, на яких він буде варіювати в експерименті.

Уявіть собі координатну вісь, на якій відкладаються значення даного чинника, для визначеності - температури  . Нехай основний рівень вже вибраний і дорівнює 100. Його значення зображується на осі точкою. Тоді два рівні, що цікавлять нас, можна зобразити двома точками, симетричними щодо першої. Будемо називати один них    верхнім, а другий   - нижнім. Зазвичай, за верхній рівень приймається той, який відповідає більшому значенню фактора, хоча це не обов'язково, а для якісних факторів взагалі байдуже.

Інтервалом варіювання факторів називається деяке число (своє для кожного фактора), додаток якого до основного рівня дає верхній, а віднімання - нижній рівні фактора. Іншими словами, інтервал варіювання - це відстань на координатній осі між основним і верхнім (або нижнім) рівнем. Таким чином, завдання вибору рівнів зводиться до більш простого завдання вибору інтервалу варіювання. Зауважимо ще, що для спрощення запису умов експерименту та обробки експериментальних даних масштаби по осях вибираються так, щоб верхній рівень відповідав +1, нижній -1, а основний - нулю. Для факторів з неперервною областю визначення це завжди можна зробити за допомогою перетворення.

            (2) де   - кодоване значення фактора,   - натуральне його значення,   - основний рівень фактору,   - інтервал варіювання фактору. Формула (2) здійснює перехід від натуральних значень факторів до їх кодованих значень. Зворотне перетворення має вигляд:                (3) На вибір інтервалів варіювання накладаються природні обмеження зверху і знизу. Інтервал варіювання не може бути менше тієї помилки, з якою експериментатор фіксує рівень фактору. Інакше верхній і нижній рівні виявляться нерозрізненними. З іншого боку, інтервал не може бути настільки великим, щоб верхній або нижній рівні опинилися за межами області визначення. Усередині цих обмежень зазвичай ще залишається значна невизначеність вибору, яка усувається за допомогою інтуїтивних рішень.

 

3. Повний факторний експеримент типу    Мова піде про проведення досліду для   вхідних факторів, кожен з якихможе перебувати на одному з двох рівнів: верхньому (кодоване значення +1) і нижньому (кодоване значення -1). Загальна кількість дослідів -  . Серія дослідів, в яких реалізовані всі можливі комбінації рівнів, називається повним факторним експериментом. Таблиця, яка містить перелік всіх рівнів повного факторного експерименту, називаєтьсяматрицею планування . Матриця планування для повного факторного експерименту типу   (два фактора на двох рівнях) наведена в табл. 1.

Таблиця 1 - Матриця планування експерименту 

Номер дослідження			Літерні позначення рядків	y
1	-1	-1	(1)
2	+1	-1	a
3	-1	+1	B
4	+1	+1	ab

                     

Кожен стовпець у матриці планування називають вектор - стовпцем, а кожен рядок - вектор - рядком. Таким чином, табл. 1 містить два вектор-стовпця незалежних змінних  ,   і один вектор-стовпець параметра оптимізації  . Те, що записано в цій таблиці в алгебраїчній формі, можна зобразити геометрично. Знайдемо в області визначення факторів точку, відповідну основному рівню, і проведемо через неї нові осі координат, паралельні осям натуральних значень факторів. Далі, виберемо масштаби за новими осях так, щоб інтервал варіювання для кожного фактора дорівнював одиниці. Тоді умови проведення дослідів відповідатимуть вершинам квадрата, центром якого є основний рівень, а кожна сторона паралельна одній з осей координат і дорівнює двом інтервалам (мал. 1).

Мал. 1 Основний рівень і інтервали варіювання в природних ( ) і кодованих ( ) координатах.

Номери вершин квадрата на мал. 1 відповідають номерам дослідів в матриці планування (таблиця. 1). Площа, обмежена квадратом, називається областю експерименту. Матриця планування для повного факторного експерименту типу   приведена в таблицю. 2.

Таблиця 2 - Матриця планування експерименту   

Номер досліду				Літерні позначення рядків
1	-1	--1	+1	C
2	-1	+1	-1	B
3	+1	-1	-1	A
4	+1	+1	+1	Abc
5	-1	-1	-1	(1)
6	-1	+1	+1	Bc
7	+1	-1	+1	Ac
8	+1	+1	-1	Ab

                    

Розглянуті матриці планування повних факторних експериментів відносяться до випадку планування дослідів з 2-3-ма факторами. Тепер з'ясуємо, які загальні властивості ці матриці мають незалежно від числа факторів. Говорячи про властивості матриць, ми маємо на увазі ті з них, які визначають якість моделі. Адже експеримент і планується для того, щоб отримати модель, що наділена деякими оптимальними властивостями. Це означає, що оцінки коефіцієнтів моделі повинні бути найкращими і що точність передбачення параметра оптимізації не повинна залежати від напрямку в факторному просторі, бо заздалегідь неясно, куди належить рухатися в пошуках оптимуму.

Дві властивості йдуть безпосередньо з побудови матриці. Перше з них -симетричність щодо центру експерименту - формулюється наступним чином: алгебраїчна сума елементів вектор - стовпець для кожного фактора дорівнює нулю  де   номер рядка за кількістю дослідів  ,   - номер фактора.  Друга властивість - так звана умова нормування - формулюється так: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів. Це наслідок того, що значення факторів в матриці задаються +1 і -1.

Для зручності роботи введемо в матриці повного факторного експерименту додатковий стовпець з індексом  , що складається з одних одиниць зі знаком +. Надалі цей стовпець знадобиться при обчисленні початкового елемента функції відгуку. Як приклад матриця планування типу   з нульовим стовпцем представлена в табл. 3.

Таблиця 3 - Матриця планування експерименту з нульовим стовпцем

Номер досліду				Літерні позначення рядків
1	+1	-1	-1	(1)
2	+1	-1	+1	A
3	+1	+1	-1	B
4	+1	+1	+1	Ab

 

    

Сума почленних утворень будь-яких двох вектор - стовпців матриці при   ( ) дорівнює нулю:

Ця важлива властивість називається ортогональністю матриці планування. Остання, четверта властивість називається ротатабельністю. У цьому випадку точки в матриці планування підбираються так, що точність передбачення значень параметра оптимізації однакова на рівних відстанях від центру експерименту.

 

4. Математична модель для повного факторного експерименту У разі повного факторного експерименту функція відгуку для параметра   залежно від   кодованих факторів шукається у вигляді відрізка - ряду Тейлора                   (4) Наша мета - знайти за результатами дослідів, поставлених у всіх точках повного факторного експерименту, значення невідомих коефіцієнтів в математичній моделі (4). Коефіцієнти регресії цієї моделі обчислюються за формулами [1]:

     (5) де номер стовпця   належить до нульового стовпця матриці планування, який складається з одних елементів +1. У випадку   маємо:

Ви бачите, що завдяки кодуванню факторів розрахунок коефіцієнтів   перетворився у просту арифметичну процедуру. Тепер у нас є все необхідне, щоб знайти невідомі коефіцієнти лінійної моделі залежно від вхідних факторів у натуральному вимірі                                       (6) Для отримання останнього рівняння достатньо скористатися формулами переходу (2) від кодованих змінних до натуральних. Коефіцієнти при незалежних змінних вказують на ступінь впливу факторів. Чим більше чисельна величина коефіцієнта, тим більший вплив він надає. Якщо коефіцієнт має знак плюс, то зі збільшенням значення фактора параметр оптимізації збільшується, а якщо мінус, то зменшується. Величина коефіцієнта відповідає внеску даного фактора у величину параметра оптимізації при переході фактора з нульового рівня на верхній або нижній.

Внесок  -го фактора в загальний вплив на вихідну величину зручно оцінити значенням  , яке визначає змінну   при переході цього фактору від нижнього до верхнього рівня. Внесок, визначений таким чином, отримав назву ефекту фактора (іноді його називають основним або головним ефектом). Він чисельно дорівнює подвоєному коефіцієнту. Для якісних факторів, варійованих на двох рівнях, основний рівень немає фізичного сенсу. Тому поняття "ефект фактора" є тут природним. Плануючи експеримент, на першому кроці ми прагнемо отримати лінійну модель. Однак у нас немає гарантії, що в обраних інтервалах варіювання процес описується лінійною моделлю. Існують способи перевірки придатності лінійної моделі. А якщо модель нелінійна, як кількісно оцінити нелінійність, користуючись повним факторним експериментом?

Один з найпоширеніших видів нелінійності пов'язаний з тим, що ефект одного чинника залежить від рівня, на якому знаходиться інший фактор. У цьому випадку говорять, що має місце ефект взаємодії двох факторів. Повний факторний експеримент дозволяє кількісно оцінювати ефекти взаємодії. Для цього треба, користуючись правилом множення стовпців, отримати стовпець утворений для двох факторів. При обчисленні коефіцієнта, відповідного ефекту взаємодії, з новим вектор-стовпцем можна поводитися так само, як з вектор-стовпцем будь-якого фактора.

Для повного факторного експерименту  матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії продуктів представлена в табл. 4. Дуже важливо, що при додаванні стовпців ефектів взаємодій всі розглянуті властивості матриць планування зберігаються.

Таблиця 4 - Матриця планування експерименту   з ефектом взаємодій

Номер досліду
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	-1	+1	-1
3	+1	+1	-1	-1
4	+1	+1	+1	+1

Математична модель з урахуванням взаємодії виглядає наступним чином:             (7) Коефіцієнт взаємодії   обчислюється звичайним шляхом:                     (8) Стовпці   і   задають вхідні параметри моделі. За ним безпосередньо визначаються умови дослідів, стовпці   і   служать тільки для розрахунку. Звертаємо вашу увагу на те, що при оптимізації ми прагнемо зробити ефекти взаємодії можливо меншими. У задачах інтерполяції, навпаки, їх виявлення часто важливе і цікаве.