2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра

2.1. Построение согласованного фильтра

Определим комплексную частотную характеристику оптимального фильтра

Данная характеристика может быть определена из выражения

где Ф*(jω) – комплексно-сопряженное значение амплитудного спектра сигнала;S_n(ω) – спектральная плотность помехи; С – произвольная постоянная, t₀– момент наблюдения.

Так как помехой является белый шум с постоянной спектральной плотностью N₀/2 в полосе частот , много большей полосы частот, занимаемой сигналом, частотная характеристика оптимального фильтра (называемого в данном случае согласованным) определится из выражения

,

где k – постоянная.

Для определения комплексной частотной характеристики фильтра необходимо вычислить Ф*(jω) –комплексно-сопряженное значение амплитудного спектра

Для этого найдем выражение для амплитудного спектра Ф(jω)

Произведем операцию комплексного сопряжения

Найдем частотную характеристику сопряженного фильтра

Проверим выполнение условия возможности физической реализуемости фильтра

Проверку произведем при помощи программы MathCad 14

Данный интеграл сходится, следовательно, данный фильтр физически реализуем

Схема данного фильтра представлена ниже:

2.2. Построение квазиоптимального фильтра

Построение оптимального фильтра на практике невозможно или нерационально из-за сложности реализации, поэтому произведем построение квазиоптимального фильтра

Квазиоптимальный фильтр – это практически осуществимый фильтр, на выходе которого отношение сигнал/помеха немного меньше значения, рассчитанного для оптимального фильтра.

Произведем расчет ухудшения отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с отношением сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра по формуле

Подынтегральное выражение в числителе является быстро осциллирующей функцией круговой частоты ω. Большинство существующих математических вычислительных пакетов не предназначено для вычисления интегралов от таких функций. В связи с этим перейдем в низкочастотную область путем замены переменной Ω = ω – ω0

Для вычисления на компьютере необходимо бесконечный верхний предел заменить конечным.

В рамках данной курсовой работы значение верхнего предела интегрирования может быть найдено из решения уравнения, исходя из условия, что в полосе частот содержится 90% энергии сигнала

,

где Δω – полоса частот шума, данная в задании.

Нахождение значения верхнего предела произведем в MathCad 14

Зная верхний предел интегрирования и учитывая, что для определения параметров квазиоптимального фильтра необходимо рассчитать ρ при множестве значений добротности Q, запишем выражение для ρ

где K(Ω, Q) – частотная характеристика высокодобротного контура, определяемая как

где n = 2 по условию задачи.

Таким образом, ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с этим отношением на выходе оптимального фильтра ρ = 0.981

Теперь необходимо рассчитать полуширину полосы пропускания квазиоптимального фильтра исходя из выражения

Таким образом, полоса пропускания 0,57 МГц

Найдем значение ширины спектра сигнала в пакете MathCad, учитывая, что

Таким образом: полоса пропускания 0,57 МГц

ширина спектра 0,46 МГц

Найдем отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выраженное через отношение сигнал/помеха на его выходе:

_b:=0.671