1.1 Определение передаточных функций

Найдем передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ поотношению к возмущающему воздействию λ и заданию φ₃.

W (p) = W (p) W (p) W (p) W (p); (1.1)

(1.2)

Найдем передаточные функции замкнутой САУ по отношению к возмущающему воздействию и заданию

; (1.3)

; (1.4)

; (1.5)

По формуле (1.3) найдем :

По формуле (1.4) найдем :

По формуле (1.5) найдем :

1.2 Определение характеристического уравнения замкнутой системы

Для нахождения характеристического уравнения замкнутой системы сложим полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы и приравняем сумму к нулю, т.е.

1 + W (p) = 0.

Пусть тогда или

В данном примере:

(1.6)

где ;

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы (получим путем сложения):

+ =0.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ принимает вид:

. (1.7)

1.3 Определение устойчивости замкнутой системы алгебраическим методом

Для анализа устойчивости САУ аналитическим методом составим определитель:

.

Необходимое условие устойчивости – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения >0, >0, >0, >0 выполняется.

Достаточное условие – положительность всех главных диагональных миноров до n – 1порядка при >0, проверим

;

;

Условие не выполняется, следовательно, замкнутая САУ неустойчива.

1.4 Определение устойчивости замкнутой системы частотным методом

Для анализа устойчивости по частотному методу Михайлова запишем выражение годографа Михайлова. Для этого в характеристическое уравнение подставим р =iω.

;

Для облегчения процесса построения G (iω) при изменении ω от нуля доплюс бесконечности, найдем точки его пересечения с вещественной и мнимой осью комплексной плоскости. Для этого представим G (iω) в виде вещественной и мнимой части:

;

поскольку , ;

;

.

Для определения точек пересечения годографа Михайлова с вещественной осью приравняем к нулю его мнимую часть

;

Отсюда , .

Подставляем полученные положительные значения в вещественную часть , находим:

;

.

Приравняем вещественную часть к нулю:

;

.

Значение w₂ подставляем в мнимую часть:

.

Поскольку , то чередуемость корней не соблюдается и система управления неустойчива. Убедимся в этом, построив годограф Михайлова по полученным точкам:

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Из рисунка следует, что он последовательно проходит 3 квадранта в положительном направлении при изменении ω от 0 до +∞. Система устойчива.

Из графика следует, что он начинается с положительной действительной полуоси и последовательно против часовой стрелки не проходит n – квадрантов, при изменении частоты от 0 до . Следовательно, система неустойчива.

Найдем параметры настройки регулятора, при которых система устойчива. Из двух параметров настройки регулятора оставим постоянным значение Т₁ и будем изменять значение К_р. Для этого решим неравенство, путем подстановки в характеристическое уравнение всех коэффициентов, за исклячением К_р. Получаем:

10900*60-300000*(0.96* К_р +1) >0

654000 - 288000 К_р – 300000 >0

К_р <1,229. Выбираем К_р =1. Тогда по критерию Гурвица имеем:

.

Необходимое условие устойчивости – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения >0, >0, >0, >0 выполняется.

Достаточное условие – положительность всех главных диагональных миноров до n – 1порядка при >0, проверим:

;

;

следовательно, система устойчива.

Определим отклонение регулируемой величины от заданной в установившемся режиме для и .

Найдем статическую ошибку системы для параметров настройки регулятора , . На основании принципа суперпозиции, которому подчиняются линейные системы управления реакции, система на несколько воздействий равна сумме реакций на каждое из них:

,

где ;

,

где ;

, .

Подставив соответствующие значения передаточных функций, их коэффициентов и найдя предел, получим составляющие статической ошибки по задающему и возмущающему воздействиям:

.

Вывод: САУ является статической как по задающему, так и по возмущающему воздействиям.