1.Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.

Вероятность Р(А) как степень объективной возможности наступления события А имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события А может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие В, то полученная вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/B).

Р(А/В) = P(AB) / P(B) – формула условной вероятности, где всюду полагаем, что Р(В) > 0.

Строго говоря, безусловная (обычная) вероятность Р(А) также является условной, т. к. она получена при выполнении определенного комплекса условий. Понятие условной вероятности относится к основным рабочим инструментам теории вероятностей. Оно возникает при замене пространства элементарных событий  на его непустое подмножество В и последующем пересчете возникающих при этом вероятностей.

Формула умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, т. к. в этом случае вместе с Р(А) = 0 имеет место Р(А/В) = 0 и Р(АВ) = 0.

2.Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности применяется в тех случаях, когда событие А может произойти только при наступлении одного из несовместных событий (т. н. гипотез).

Напомним, что группа событий Н₁, Н₂, …, Н_n называется полной, если Н_iН_j =  при I  j и Н₁+Н₂+…+Н_n = .

Формула полной вероятности. Если Н₁, Н₂, …, Н_n – полная группа событий и все Р(Н_i) > 0, то для любого события А   имеет место Р(А) = Р(Н_i)Р(А/H_i).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем: А = А = А(Н₁+Н₂+…+Н_n) = АН₁+АН₂+…+АН_n,

причем слагаемые последней суммы несовместны. Тогда по формуле сложения для несовместных событий Р(А) = Р(АН₁)+Р(АН₂)+…+Р(АН_n).

Применяя к правой части последнего равенства формулу умножения вероятностей, имеем:

Р(А) = Р(Н_i)Р(А/H_i).

Формулы Байеса

Пусть имеет место равенство А = АН₁+АН₂+…+АН_n, где Н₁, Н₂, …, Н_n – гипотезы, составляющие полную группу событий. Требуется найти вероятности гипотез, если известно, что событие А произошло. Согласно формуле умножения имеем:

Р(Н_iA) = Р(Н_i)P(A/ Н_i) = P(A) P(Н_i/A).

Отсюда P(Н_i/A) = .

Находя знаменатель по формуле полной вероятности, имеем:

P(Н_i/A) = , I = 1,2,…,n.

Полученные формулы называются формулами Байеса. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие А может протекать в различных условиях, относительно характера которых можно выдвинуть n гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n. По тем или иным причинам нам известны вероятности Р(Н_i) до испытания. Известно также, что гипотеза Н_i сообщает событию вероятность Р(А/Н_i). Произведем опыт, в котором событие А наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Н_i - формулы Байеса количественно решают этот вопрос.