32.Прямые методы реш сист лин алг ур-ий. Обусл задачи реш сист лин алгебр ур-ий.

Случай 1. Эл-ты матр А считаются заданными точно, а вектор-столбец правой части В – приближ. Для оценки погр приближ реш сист АХ=В справедлива оценка: Δ(Х*)≤||А^-1||*||г||, где r=В-АХ* - невязка, отвечающая X*. Теорема 1 Пусть X*- точное реш сист АХ*=В*, в кот В* явл приближ по отнош к В. Тогда верны оценки абсол и относ погр: Δ(Х*)≤ν_ΔΔ(В*), δ(X*)≤ν_δδ(В*), где ν_Δ=||А^-1||, ν_δ=||A^-1||*||B||/||X||. В этом случае: r=B-AX*=B-B*. Вел-на νδ=νδ(Х) наз естественным числом обусл. Макс знач естеств числа обусл: max νδ(X)=max||A^-1||*||A*X||/||X||=||A^-1||*||A|| эту вел-ну принято наз стандартным числом обусл матр А и обознач через ν(A) или cond(A): ν(A)=соnd(А)=||A^-1||*||A||. В усл теоремы 1 справедл оценка: δ(Х*)≤соnd(А)•δ(В*). Сист ур-ий и матр А принято наз плохо обусл, если cond(А)>>1.

Теорема 2 Пусть X*- реш сист. А*Х*=В с приближ заданной матр А*. Тогда верна оценка относ погр: δ*(X*)≤cond(A)·δ(A*), где δ*(X*)=||X-X*||/||X||, δ(A*)=||A-A*||/||A||.

33.Метод Гаусса для реш сист лин алгебр ур-ий.

Реш сист лин алгебр ур и с помощью метода Гаусса сост из двух осн этапов: 1)Прямого хода; 2) Обратного хода (обратной подстановки).!

Прямой ход заключ в послед исключ неизв из сист для преобраз её к эквив сист лин алгебр ур с верхней треуг матр: [a11,a12..a1m; 0,a22..a2m; …; 0, 0..amm]. Вычисл знач неизв производят на этапе обр хода. Схема ед дел. Прямой ход реш сост из (m-1)-го шага исключ неизв. 1-й шаг. Искл неизв х1 из ур с № i=2, 3..m. Предпол, что коэфф а₁₁≠0. Будем наз его главным или ведущим эл 1 шага. Найдём μi1=a_i1/a_1l(i=2..m), наз множ-ми 1 ш. Вычтем послед из 2,..m-гo ур сист первое ур, умнож соотв на μ21.. Это позволит обратить в 0 коэффи при неизв x₁ во всех ур сист, кроме 1 ур. В резе получим экв сист лин алгеб ур: а₁₁х₁+а₁₂х₂+..+а_1mх_m=b1; а₂₂⁽¹⁾х2+..+а_2m⁽¹⁾х_m=b2⁽¹⁾;… а_m2⁽¹⁾х2+..+а_mm⁽¹⁾х_m=bm⁽¹⁾, где aij⁽¹⁾=aij-μi1*a1j; bi⁽¹⁾=bi-μi1*b1. 2 шаг. Искл неизв х2 из ур с № i=3,4,..m. Множ 2 шага искл: μi2=ai2(1)/a22(1) (i=3,4..m). Вычтем послед из 3, 4,.m-го ур сист второе ур, «*» соотв на μ₃₂,..μ_m2. Получ сист: а₁₁х₁+а₁₂х₂+..+а_1mх_m=b1; а₂₂⁽¹⁾х2+..+а_2m⁽¹⁾х_m=b2⁽¹⁾; … а_m3⁽²⁾х3+..+а_mm⁽²⁾х_m=bm⁽²⁾, где aij⁽²⁾=aij(1)-μi1*a2j(1); bi⁽²⁾=bi(1)-μi2*b2(1). К-й шаг. Главн эл к-го шага аkk^(к-1)≠0, выч множ: μik=a^(k-1)_ik/a_kk^(k-1).(i=k+l..m) и вычтем из (к+1)..m-го ур получ на пред шаге сист к-ое ур, «*» соотв на μ(к+1,к); μ(к+2,к)..μmk. После (m-l)-ro шага получ: а₁₁х₁+а₁₂х₂+..+а_1mх_m=b1; а₂₂⁽¹⁾х2+..+а_2m⁽¹⁾х_m=b2⁽¹⁾; … а_m3⁽²⁾х3+..+а_mm^(m-1)х_m=bm^(m-1), Матр А^(m-1) явл треуг. Обратный ход. Из посл ур сист находим знач неизв xm. Подставл знач в предпосл ур, получаем значение х_m-1.Осущ обр подстан, далее послед находим х(m-2), x(m-1)..x1. Вычисл неизв: xm=(bm^(m-1)/amm^(m-1)); xk=(bk(k-1)-a(k,k+1)(k-1)*x(k+1)-..-akm(k-1)*xk)/(akk(k-1)), k=m-1..1.

34.Итер методы реш сист лин алгебр ур. Метод простой итер. Оценка погр.

Предположим, что ур вида F(x)=0, преобраз к виду X=f(X). Пусть X^о явл исходным приближ знач корня. Тогда в кач-ве первого приближ примем X¹=f(X^о). n-го шага итер: Xⁿ=f(X^n-1). Метод сход, если |f'(x)|≤1. Апостериорная оц погр:||X⁽⁰⁾-X||≤(||B||*||X⁽ⁿ⁾-X^(n-1)||/(1-||B||). ||B||*||X(n)-X(n-1)||/(1-||B||)<ε; ||X(n)-X(n-1)||<ε1; ε1=(1-||B||)*ε/||B||.

В случ, когда исп сист x1=b12x2+b13x3+..+b(1,m-1)x(m-1)+b1mxm+c1; xm=bm1x1+bm2x2+..+b(m,m-1)x(m-1) с коэфф bij=-aij/aii; ci=pi/aii (i,j=1..m, i≠j) метод простой итер наз м Якоби.