25.Методы отыс числ реш нелин ур-ий. Метод послед приближ.

Предпол, что ур-ие вида F(X)=0, преобраз к виду X=f(X). Пусть Х⁽⁰⁾ явл исх приближ знач корня. Тогда в кач-ве первого приближ примем Х(1)=f(X(0)), в кач-ве второго X(2)=f(X(1)) и т.д. Осн расчетная ф-ла: X⁽ⁿ⁾=f(X^(n-1)). Пока не будет віполн нерав: |X(n)-X(n-1)|≤(1-q)ε/q или |X(n)-X(n-1)|≤ε, |f’(X)|≤q<1

26.Методы отыс числ нелинур-ий. Метод Ньютона-Рафсона. Лок сход Ньютона.

Предположим, что ур f(X)=0 имеет один корень на инт [α,β]; f'(X) и f’’(X) опред, непрерывны и сохр пост знаки на отр [α,β].

Ур касат, проход через точку Р°, имеет вид: Y=f(Х°) + f'(X°)(X-Х°). Полагая Y=0, найдем абсциссу X¹ точки пересеч касат и ОХ: X¹ =Х°-f(Xͦͦͦͦ°)/f’(X°). След приближ найдем по ф-ам: Xⁿ=X^n-1-f(X^n-1)/f'(X^n-1). До выполнения усл: |Xⁿ-X^n-1|<√2m1ε/M2, m1- наим знач |f’(X)| на отр. M2-наиб знач |f’’(X)| на отр

1.Необход вычисл производной f'(X). Часто бывает невозможно найти аналит выраж для f’(X), а опредь приближ знач с высокой точн очень трудно. В этих случаях приходится модифиц метод, избегая непосредств вычисл производной. 2.Метод Ньютона обладает лок сход. Это означает, что обл его сход явл некая малая окр корня и для гарантии сход необход выбир хорошее нач приближ, попад в эту окр.

27.Числ методы реш задачи Коши для обыкновенных дифф ур. Разрешимость задачи Коши.

Пост задачи: реш ОДУ 1-го порядка y'(x)=f(x,у(х)) наз дифф-ая ф-ий у(х), кот при подст в ур-ие обращает его в тождество. График реш ДУ наз интегр кривой, а процесс нахожд реш интегр-ем ур-ия. Для того, чтобы из семейства реш ДУ выбрать одно конкретное решение задают нач усл у(х0)=у0. Задачу нахожд реш у(х) ДУ при х>х₀ удовлетв нач усл, наз задачей Коши.

28.Метод Эйлера. Геом интерпрет, устойчивость, оценка погр.

Реш дифф ур y'=f(x,y) с нач усл y(x0)=y0. В процес ее реш сост табл. Знач yk=y(xk). xk=x0+k*h (k=0,1..n), h=(b-a)/n. Знач y(k+1): y(k+1)=yk+F(xk,yk)h. Погр на каждом шаге: y’’(ξi)*h^2/2

Геом интерпрет

29.Методы Рунге-Кутта. Точность и устойчивость.

На каждом шаге вычисл выполн по ф-ле: y(i+1)=yi+(k1^(i)+2k2^(i)+2k3^(i)+k4^(i))/6, где k1^(i)=hf(xi,yi); k2^(i)=hf(xi+h/2; yi+k1^(i)/2), k3^(i)=hf(xi+h/2; yi+k2^(i)/2), k4^(i)=hf(xi+h;yi+k3^(i)). Погр метода порядка h^5. Достоинства м Рунге-Кутта: 1.легко программ. 2.облад достаточными для широкого круга задач точн и устойчивостью. 3.одношаг, самостартующие и позвол на любом этапе вычисл измен шаг инте. 4.увел число вспомог т можно построить методы Р-К любого порядка точности p.

30. Реш задачи Коши для сист обыкновенных дифф ур n-го порядка.

Задача отыскания реш ур y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y',y''..y^(n-1)) при нач усл y0=y(x0), y'0=y'(x0), y''0=y''(x0) .. y^(n-1)0=y^(n-1)(x0) наз задачей Коши для обыкн дифф ур порядка n.

31.Прямые методы реш сист лин алгебр ур-ий. Общая постановка задачи. Усл сход.

Пост задачи: В вычисл лин алг выдел 4 осн задачи: 1)Реш сист лин алгебр ур-ий; 2)Вычисл определителей; 3)Нахожд обратных матр; 4)Опред собств знач и собств векторов. Прямые методы реш сист лин алгебр ур-ий с вещественными коэфф a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_lmx_m=b1 … a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mmx_m=bm. В матр форме записи эта сист: АХ=В, где А – матр из а_mi, Х – вектор из хi, В – вектор из bm. Будем предпол, что матр А задана и явл невырожд. Необходо получить знач вектора X по матр В и А. ПустьX*=(х1*,x₂*,.,x_m*)^T- приближ решение сист. Будем стремиться к получению реш, для которого мала погр: Е=Х-Х*. Кач-во получ реш не всегда хар-ся тем, насколько мала погр (Х-Х*). Иногда вполне удовлетв явл критерий малости «невязки» r=В-АХ*. Вектор г показ, насколько отлич правая часть ур-ия в матр форме от левой части, если подставить в неё приближ реш: |г=АХ-АХ*=А(Х-Х*), и поэтому, погр и невязка связаны равенством: Е=Х-Х*=А-¹ г

Сход по норме: пусть {X^(n)}^∞_n=1 – посл векторов X=(x1,..xm)^T. Говорят, что посл векторов X^(n) сход к вектору Х при n→∞ (X^(n)→X при n→∞), если Δ(X^(n))=||X^(n)-X||→0 при n→∞.