19.Оценка погр пройтейших квадратурных ф-л в случае постоянного и переменного шага инт.

Предположим, что подыинт ф-ия f достаточно гладкая. Макс знач производной k-ого порядка на отр [a,b]: Mk=max|f^(k)(x)|. Погр Rпр=I-Iпр для ф-лы центр прямоуг: Rпр=∫f(x)dx-h∑f(x(i-1/2))=∑∫(f(x)-f(x(i-1/2))dx. Так как Rпр=∑Ri, то |Rпр|≤∑M2*h^3/24=M2*n*h^3/24. Так как n*h=b-a => |Rпр|≤M2*(b-a)*h^2/24

|Rтрап|≤∑|Ri|≤M2*n*h^3/12=M2*(b-a)*h^2/12

Погр ф-лы Симпсона: |I-Iсимп|≤M4*(b-a)*h^4/28880

20.Квадратурные ф-лы интерпол типа. Формула Ньютона-Котеса.

I=∫f(x)dx≈∫g(x)dx. Для повышения точности интеграл I представляют в виде суммы инт на элементарных отр [х(i-1), xi]. На каждом i-том отр ф-ию f(х) аппроксимируют некоторой легко интегрируемой ф-ей gi(x). В рез получается составная ф-ла: ∫f(x)dx≈∑gi(x)dx.

I(интерп.типа)=∑hi∑ajf(x(i-1/2)+tj*hi/2), квадратурные ф-лы интерпол типа, построенные на осн равноотстоящих знач t0,t1..tm, наз ф-ми Ньютона-Котеса.

21.Квадратурные ф-ла Гаусса.

Общий вид квадратурной формулы ∫f(x)dx≈∑Aif(xi)

Допущения: *узлы распол на промеж интегр с равномерным шагом h, весовые коэфф Ai наход в рез-е замены подынт ф-ии f(x):- кусочно-постоянной (для ф-ул прямоуг), -кусочно-линейной (для ф-лы трапеций); -кусочно-квадратичной (для ф-лы Симпсона) и т.д.

Набор весов для составной ф-лы трап: h/2,h,h..h,h/2; а для сост ф-лы Симпсона: h/3, 4h/3, 2h/3, 4h/3, 2h/3..4h/3,h/3

Квадратурные ф-лы, основанные на равномерном разбиении отрезка [а.Ь] на n равных частей с шагом h, можно сравнивать по точности в зависимости от степени h, содерж в выраж их остаточных членов: |Rn(цпр)|≤M2(b-a)h^2/24; |Rn(тр)|≤M2(b-a)h^2/12; |Rn(Симп)|≤M4(b-a)h^4/28880

Иная точка зрения: поскольку в выраж остаточного члена квадр ф-лы входит множителем производная, подынт ф-ии опред, например, k-го порядка, и поскольку k-я произв многочлена (к-1)-й степени равна 0, можно сказать, что соответ квадр ф-ла точна для многочленов степени к-1. В этом случае к-1 есть алгебр порядок точности квадр ф-лы.

22.Численное интегрирование в нерегул случаях.

Нередко приходится вычислять интегралы ∫F(x)dx ф-ий, имеющих те или иные особенности: *сама ф-ия или ее произвя имеют участки резкого измен. *точки разрыва. *явл неогран-ми.

1.Разбиение промеж интегрир на части: Пусть подынт ф-ия F явл кусочно-гладкой и C1<С₂<..<Ср - известные точки разрыва функции F либо ее произв. В этом случае имеет смысл представить инт в виде: ∫F(x)dx=∫F(x)dx+∫F(x)dx+..+∫F(x)dx. Вычисл несобственных инт вида: ∫F(x)dx Если требуется вычисл такой инт с точн ε>0, то его представл в виде суммы ∫F(x)dx=∫F(x)dx+∫F(x)dx Благодаря выбору достаточно большого b1 добиваются выполн нерав ∫|f(x)|dx≤ε/2

2.Выдел веса: В некот случаях подынт ф-ия допускает разлож на два сомножителя: F(x)=p(x)f(x) где р(х) явл достаточно простой и имеет те же особ, что и F(x), a f(x)- гладкая ф-ия. Тогда имеет смысл рассм инт в виде I=∫p(x)f(x)dx. Ф-ия р(х) наз весовой ф-ей (или весом). При построении методов для вычисл инт I вес ф-ия считается фиксир.

3.Аддитивное выдел особ: Иногда подынт ф-ию удается представить в виде суммы F(x)=φ(x)+ψ(x), где ф-ия φ(х) содержит особен, но инт-тся анал-ски, а фия ψ явл достаточно гладкой. Тогда инт представл в виде: ∫F(x)dx=∫φ(x)dx+∫ψ(x)dx=I1+I2 Инт I1 вычисл аналит, а инт I2 - с пом той или иной квадрат ф-лы.