13.Числ методы дифф ф-ий: постановка задачи, простейшие формулы числ дифф.

Допустим, что в некоторой т Х для ф-ии f(x) сущ производная f '{x}=lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx которую вычисл либо не удается, либо слишком сложно. Тогда положим f '(x)=((f(x+Δx)-f(x))/Δx)

Простейшие ф-лы числ дифф: пусть xi=x0+i*h, i=0,±1..; h>0 шаг дифф. Обозначим fi=f([i), f’i=f’(xi). Допустим, что fєC2[x0,x1], тога сущ такая точка ξ, что f’0(x)=(f1-f0)/h-h*(f''(ξ)/2, где x0<ξ<x1. Если fєC3[x_-1,x₁], тогда сущ такая т ξ, что f'0(x)=(f1-f(-1))/2*h-f'''(ξ)*h^2/6, где x_-1<ξ<x₁. При условии fєC4[x_-1,x₁], имеем f’’₀(x)=(f_-1-2*f0+f1)/h^2 – f⁽⁴⁾(ξ)*h^2/12, где x_-1<ξ<x₁. Эти ф-лы можно получить из разложения в ряд Тейлора.

14.Применение интерпол многочлена Лагранжа для решения задачи числ дифф. Проблема выбора оптим шага дифф.

Универс способ постр формул числ дифф состоит в том, что по значению ф-ии f(X) в некоторых узлах X0,X1..Xn строят интерполяц многочлен Ln(X) и приближ полагают: f^(m)(X)≈Ln^(m)(X), 0≤m≤n. Например m=1, n=2, т.е вводяться три узла: f’0=(-3f0+4f1-f2)/2h +f’’’(ξ)*h/3; f’1=(f2-f0)/2h –f’’’(ξ)*h^2/6; f’2=(f0+4f1-3f2)/2h +f’’’(ξ)*h^2/3. А при m=2, n=2: f’’0=(f0-2f1+f2)/h^2 +hf’’’(ξ); f’’1=(f0-2f1+f2)/h^2 –f⁽⁴⁾(ξ)*h^2/12; f’’2=(f0-2f1+3f2)/h^2 +h*f’’’(ξ)

Выбор оптим шага дифф при реш задачи числ дифф

В ф-ах числ дифф с постоянным шагом h знач ф-ии f делятся на величину h^m где m - порядок вычисл производной. => получаемый рез напрямую зависит от выбора вел-ны шага дифф h. Отсюда возникает задача выбора оптим шага при реш задачи числ дифф с целью получения наиболее точных рез-ов. Пусть абсол погр Δ(fi) для каждого знач ф-ии fi удовл неравенству Δ(f(хi)≤Δ, Δ - пред абсол погр. Требуется найти оптим шаг дифф (h) в ф-ах f'0(x)≈(f₁-f_-1)/2h; f''0(x)≈(f_-1-2f0+f1)/h^2. Если при выбранном для какой-либо из этих ф-л значении h отрезок [X_-1,X₁], где X_±1=X0±h не выходит за педелы окр. т Х0, в которой выполн соотв неравенство Δ(f(xi))≤Δ, то найденное знач h явл оптим и полная погр числ дифф оценивается вел-ми r*1min=(3/2)*(M3Δ²/3)^(1/3) и r*2min=2*(M4Δ/3)^(1/2). В противном случае h выбирается так, чтобы отр [X_-1,X1] не выходит из указанной окр точки Х0, а полная погр числ дифф оценивается вел-ми r*1(h)=(Δ+Δ)/2h+M3*h^2 /6 и r*2(h)=(Δ+2Δ+Δ)/h^2+M4*h^2 /12

15.Применение интерпол многочл Ньютона для реш задачи числ дифф.

Если построен интерполяц многочлен Ньютона Р_n(х), то можно приближенно положить: f^(m)(х)≈P_n^(m)(x), 0≤m≤n Если продифф интерполяц многочлен Ньютона, то может быть получена ф-ла числ дифф, выраж-ся через конечные разности ф-ии, заданной таблично.

16.Числ инт ф-ий. Простейшие квадратурные ф-лы.

Пусть требуется вычисл опред инт ∫f(x)dx причем f(x)≥0 на отр [a,b]. Разобьем отр на n равных отр точками деления х1,х2..х(n-1) и обознач х0=а, хn=b. Отр разделен на частичные отр равной длиной h=(b-a)/n. Точки дел опред: х1=a+h, x2=a+2h..xk=a+kh.

Левые прямоуг: I=∫f(x)dx=∑Ii, Ii=∫f(x)dx=h∑fi

Правых прямоуг: I=∫f(x)dx=∑Ii=h∑fi

Центр прямоуг: I=∫f(x)dx=∑Ii=h∑f(i-1/2)

17.Числ инт ф-ий. Метод трапеций.

Площадь фигуры, огран ломанной: (f0+f1)*h/2 +(f1+f2)*h/2+..+(f(n-1)+fn)*h/2

Ф-ла трап: I=∫f(x)dx=(b-a)*((f0+fn)/2+f1+f2..+f(n-1))/n

18.Числ инт ф-ий. Метод Симпсона.

На частичных отр [x(i-1),x(i+1] (i=1..n) подынт ф-ия f(x) приближ интерпол многочленом Лагранжа второго порядка. Для частичного отр [x0,x2] такой многочлен: L2(x)=f0*(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)+f1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)+f2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)

Изв правило матем анализа гласит: площадь кривол трап, огран параболой с осью, || оси Оу равна произведению основания этой трап на сумму крайних ординат (ул и уп) и учетверенной средней ординаты параболы (ус) ∫(Ax^2+Bx+C)dx=(b-a)*(yл+4ус+уп)/6. Рассм реш поставленной задачи для отр интегр произвольной длины. Заданный отр [a,b] раздел на чет число равных отр точками х1,х2..х(2n-1). Длина каждого частичного отр равна h=(b-a)/2n. Точки деления опред ф-ми x1=a+h, x2=a+2h..xk=a+kh. Объед построенные отр попарно, будем расам отр удвоенной длины [x0,x2]..[x(2n-2),x(2n)], x0=a, x(2n)=b. Знач ф-ии в точках х0,х1.. обозначим f0,f1.. соотв. ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+..+∫f(x)dx. К каждому из членов этой суммы применим ф-лу и получим: ∫f(x)dx≈(b-a)*(f0+4f1+f2)/6; ∫f(x)dx≈(b-a)*(f2+4f3+f4)/6; ∫f(x)dx≈(b-a)*(f(2n-2)+4f(2n-1)+f(2n))/6

Ф-ла Симпсона: ∫f(x)dx≈(b-a)*((f0-f(2n))+2(f2+f4..+f(2n-2))+4(f1+f3..+f(2n-1))/6n