8.Интерполяция с исп интерполяционной ф-лы Ньютона.

Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих знач аргум:

где  разделенные разности m-того порядка.

Отнош наз раздел разностями 1-го порядка. Отнош  раздел разностями 2-го порядка. Раздел разности m-го: Для равноотстоящих узлов раздел разности m-того порядка вычисл: где  шаг интерпол, .

9.Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Многочлен вида: Ln(x)=∑yi*Li⁽ⁿ⁾(x). Составление этого многочлена основано на одновременном введении в вычисл всех узлов интерполяции:

Li⁽ⁿ⁾(x)=(х-х0)(х-х1)..(x-x(i-1))(x-x(i+1))..(x-xn))/((xi-x0)(xi-x1)..(xi-xn)

Причем: Li⁽ⁿ⁾(xi)=1,Li⁽ⁿ⁾(xj)=0, i≠j

10.Аппроксимация. Метод наименьших квадратов.

Постановка задачи аппроксимации

Определить многочлен более низкой степени m<<n: Р_m(X)=a_mX^m+a_(m-1)X^m-1+..+a1X+a0

«расстояние» между которым и функцией f(X) в некотором смысле мин. Этот многочлен наз аппроксимирующим. Он сглаживает локальные особенности экспериментальной таблицы и отражает общее поведение функции f (X).

Задана табл знач ф-ии Y=f(X) в виде пар значений. Аппроксим ф-ию будем искать в виде Y=φ(X,a0,a1..am), где а0,..аm – подлежащие определению параметры. Знач ф-ии X=Xi, Yi=φ(Xi,a0..am), i=1,2..n. Между исслед и аппрокс ф-ми имеются различия, которые оценим с помощью суммы квадратов разности их значений: S(a0,a1..am)=∑(Yi-yi)^2 = ∑(φ(Xi,a0..am)-yi)^2

∂S(a0,..am)/∂ak=2∑(φ(Xi,a0,..am)-yi)*∂φ(Xi,a0,..am)/∂ak=0

В результате получаем сист из (m+1) уравнений для опред (m+1) неизв параметров:

R0a0+R1a1+..+Rmam=B0; .. Rma0+R(m+1)a1+..+R(2m)am=Bm

Решение сист лин ур-ий имеет вид: Rk=∑Xi^k/n^j, k=0,..2m; Bj=∑yiXi^j, j=0,..n

Погр среднекв аппроксимации опред след выраж: √∑(((f(Xi)-Pn(Xi))^2)/(n+1)

11.Сглаживание наблюдений.

Сглаживание наблюд – коррекция исходного табл представл ф-ии. Сглаж производится с учетом предшествующего и послед поведения ф-ии относ рассм узла. Некоторые ф-лы для сглаж в і-том узле исх табл: fi=1/21(-2f(i-3)+3f(i+2)+6f(i-1)+7fi+6f(i+1)+3f(i+2)-2f(i+3)); fi=(1/(n+1))*(fi+∑(f(i-j)+f(i+j)); fi=(1/35)*(-3f(i-2)+12f(i+1)+17fi+12f(i+1)-3f(i+2))

Кривая, построенная по сглаженным знач, становится более плавной в силу след причины:

Если наблюд знач содержат случ ошибки со свойствами: M[ηi]=0, i=0,..n

где М [] - мат ожидание ошибки в i- ом наблюд и дисперсия не зависит от i т.е: M[ηi,ηj]={0, i≠j; σ^2, i=j}. то дисперсия ошибки в сглаженных знач умен на треть.

Замечания:

1)Ошибки в сглаж знач fi становятся сильно коррелированными.

2)Если ф-ия не явл алгебр многочл степени n, тo происходит «размазывание» ее графика.

3)Повторное сглаж делать не рекомендуется.

12.Сплайны. Интерполяция при помощи сплайнов.

Сплайн – спец образом построена гладкая кусочно-многочленная ф-ия.

Пусть отр [a,b] разбит точками а=Х0<Х1..<Xn=b на n частичных отрезков [X(i-1),Xi]

Сплайном степени m называется функция S_m(X) облад след св-ми:

1)Функция S_m(X) непрерывна на отр [а,Ь] вместе со всеми своими производными S'm(X), S"_m(X),…до некоторого порядка р;

2)На каждом частичном отр [X(i-1),Xi] ф-ия S_m(X) совпадает с некоторым алгебр многочленом Рmi(х) степени m.

Макс по всем частичным отр степень многочленов наз степенью сплайна.

Разность (m-p) между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отр [а,Ь] производной наз дефектом сплайна.

Лин сплайн – сост из полиномов первой степени, т.е из отр прямых линий.

Куб сплайн – на каждом из частичных отр совпадают с куб многочленом. S3(X)=ai+bi(X-X(i-1))+ci(X-X(i-1))^2+di(X-X(i-1))^3